2026年通城学典课时作业本九年级数学下册人教版南通专版第51页解析答案

3. 如图，在平面直角坐标系中，1个单位长度表示$1\ cm$，$A$，$B$两点的坐标分别为$(20, 0)$，$(0, 15)$，动点$P$从点$A$出发，在线段$AO$上以$2\ cm/s$的速度向原点$O$移动，同时，动直线$EF$从$x$轴开始以$1\ cm/s$的速度向上平移($EF// x$轴)，分别与$y$轴、线段$AB$交于点$E$，$F$，连接$EP$，$FP$，设移动时间为$t\ s$.
(1) 当$t = 9$时，求$\triangle PEF$的面积.
(2) 在移动过程中，是否存在这样的$t$，使得$\triangle PEF$的面积为$24\ cm^2$？若存在，请求出$t$的值；若不存在，请说明理由.
(3) 当$t$为何值时，$\triangle EOP$与$\triangle BOA$相似？

答案：(1)$\because EF// OA$，$\therefore\triangle BEF\sim\triangle BOA$。$\therefore\frac{EF}{OA}=\frac{BE}{BO}$。当$t = 9$时，$OE = 9 cm$。$\because OA = 20 cm$，$OB = 15 cm$，$BE = 15 - 9 = 6( cm)$，$\therefore EF = 8 cm$。$\therefore S_{\triangle PEF}=\frac{1}{2}EF· OE=\frac{1}{2}×8×9 = 36( cm^{2})$。
(2)存在。由题意，易得$BE = (15 - t) cm$。$\because\triangle BEF\sim\triangle BOA$，$\therefore\frac{EF}{OA}=\frac{BE}{BO}$，即$EF = \frac{BE· OA}{BO}=\frac{(15 - t)×20}{15}=\frac{4}{3}(15 - t) cm$。由题意，得$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}(15 - t)× t = 24$，解得$t = 12$（不合题意，舍去）或$t = 3$。$\therefore t = 3$。
(3)由题意，得$OE = t cm$，$AP = 2t cm$，$OP = (20 - 2t) cm$。$\because\angle EOP = \angle BOA = 90^{\circ}$，$\therefore$分两种情况讨论：
①当$\triangle EOP\sim\triangle BOA$时，$\frac{OP}{OA}=\frac{OE}{OB}$，即$\frac{20 - 2t}{20}=\frac{t}{15}$，解得$t = 6$。
②当$\triangle EOP\sim\triangle AOB$时，$\frac{OP}{OB}=\frac{OE}{OA}$，即$\frac{20 - 2t}{15}=\frac{t}{20}$，解得$t = \frac{80}{11}$。
综上所述，当$t = 6$或$\frac{80}{11}$时，$\triangle EOP$与$\triangle BOA$相似。

4. 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的顶点坐标为$(2, -1)$，并且与$y$轴交于点$C(0,3)$，与$x$轴交于$A$，$B$两点.
(1) 求抛物线对应的函数解析式.
(2) 设抛物线的对称轴与直线$BC$交于点$D$，$E$为直线$BC$上一动点（不与点$B$，$C$重合），过点$E$作$y$轴的平行线$EF$，与抛物线交于点$F$.是否存在点$E$，使得以$D$，$E$，$F$为顶点的三角形与$\triangle BCO$相似？若存在，求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
(1)设抛物线对应的函数解析式为$y = a(x - 2)^{2} - 1$。把$C(0, 3)$代入，得$4a - 1 = 3$，解得$a = 1$。$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = (x - 2)^{2} - 1 = x^{2} - 4x + 3$。
(2)存在。如图，连接$DF$。当$y = 0$时，$x^{2} - 4x + 3 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。$\therefore A(1, 0)$，$B(3, 0)$。设直线$BC$对应的函数解析式为$y = kx + m$。把$B(3, 0)$，$C(0, 3)$代入，得$\begin{cases}3k + m = 0\\m = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\m = 3\end{cases}$。$\therefore$直线$BC$对应的函数解析式为$y = -x + 3$。$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 2$，$\therefore$易得$D(2, 1)$。$\because EF// OC$，$\therefore\angle FED = \angle OCB$。$\therefore$分两种情况讨论：
①当$\angle DFE = 90^{\circ}$时，$\triangle DFE\sim\triangle BOC$，此时$DF// x$轴。当$y = 1$时，$x^{2} - 4x + 3 = 1$，解得$x_1 = 2 + \sqrt{2}$，$x_2 = 2 - \sqrt{2}$。$\therefore$点$F$的横坐标为$2 + \sqrt{2}$或$2 - \sqrt{2}$。当$x = 2 + \sqrt{2}$时，$y = -x + 3 = 1 - \sqrt{2}$，此时点$E$的坐标为$(2 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2})$；当$x = 2 - \sqrt{2}$时，$y = -x + 3 = 1 + \sqrt{2}$，此时点$E$的坐标为$(2 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$。
②当$\angle FDE = 90^{\circ}$时，$\triangle EDF\sim\triangle COB$，此时$DF\perp BC$。$\therefore$易设直线$DF$对应的函数解析式为$y = x + n$。把$D(2, 1)$代入，得$2 + n = 1$，解得$n = -1$。$\therefore y = x - 1$。联立$\begin{cases}y = x - 1\\y = x^{2} - 4x + 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$。$\therefore$点$F$的坐标为$(1, 0)$或$(4, 3)$。当$x = 1$时，$y = -x + 3 = 2$；当$x = 4$时，$y = -x + 3 = -1$。$\therefore$点$E$的坐标为$(1, 2)$或$(4, -1)$。
综上所述，满足条件的点$E$的坐标为$(2 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2})$或$(2 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$或$(1, 2)$或$(4, -1)$。