6. 如图，$\triangle ABC$ 和 $\triangle EDC$ 是以点 $C$ 为位似中心的位似图形，且点 $C$ 与点 $D$ 在直线 $AB$ 的同侧，$\triangle ABC$ 和 $\triangle EDC$ 的周长之比为 $1:2$，点 $C$ 的坐标为$(-2,0)$. 若点 $A$ 的坐标为$(-4,3)$，则点 $E$ 的坐标为
(2,-6)
.
答案：6. (2,-6)
解析：
解：因为$\triangle ABC$和$\triangle EDC$是以点$C$为位似中心的位似图形，且周长之比为$1:2$，所以位似比为$1:2$。
已知点$C$的坐标为$(-2,0)$，点$A$的坐标为$(-4,3)$。
设点$E$的坐标为$(x,y)$。
位似变换中，对应点的坐标比等于位似比（考虑方向）。因为点$C$与点$D$在直线$AB$的同侧，由图形可知$\triangle ABC$与$\triangle EDC$在位似中心$C$的两侧，所以位似比为$-2$。
则有：$\frac{x - (-2)}{-4 - (-2)} = -2$，$\frac{y - 0}{3 - 0} = -2$
解得：$x + 2 = -2×(-2)$，$x + 2 = 4$，$x = 2$；$y = 3×(-2) = -6$
所以点$E$的坐标为$(2,-6)$。
(2,-6)
7. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 $OAB$ 的顶点 $O$, $B$ 的坐标分别为$(0,0)$,$(2,0)$. 已知 $\triangle OA'B'$ 与 $\triangle OAB$ 位似，位似中心是原点 $O$，且 $\triangle OA'B'$ 的面积是 $\triangle OAB$ 面积的 $4$ 倍，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标为
$(2,2\sqrt{3})$或$(-2,-2\sqrt{3})$
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答案：$7. (2,2\sqrt{3})$或$(-2,-2\sqrt{3})$
解析：
解：
∵ $\triangle OA'B'$ 与 $\triangle OAB$ 位似，位似中心是原点 $O$，且 $\triangle OA'B'$ 的面积是 $\triangle OAB$ 面积的 $4$ 倍，
∴ 相似比为 $2$。
∵ $\triangle OAB$ 是等边三角形，顶点 $O(0,0)$，$B(2,0)$，
∴ $OA=AB=OB=2$，点 $A$ 的坐标为 $(1,\sqrt{3})$。
∵ 位似中心为原点，相似比为 $2$，
∴ 点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标为 $(1×2,\sqrt{3}×2)$ 或 $(1×(-2),\sqrt{3}×(-2))$，
即 $(2,2\sqrt{3})$ 或 $(-2,-2\sqrt{3})$。
$(2,2\sqrt{3})$ 或 $(-2,-2\sqrt{3})$
8. (教材 P50 练习第 2 题变式)在网格中，每个小正方形的边长均为 $1$，$\triangle ABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1) 以点 $C$ 为位似中心，在网格内画出 $\triangle ABC$ 的位似图形 $\triangle A_1B_1C$，使 $\triangle A_1B_1C$ 与 $\triangle ABC$ 的相似比为 $2$，并写出点 $A_1$ 的坐标；
(2) 画出 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $90°$ 后得到的 $\triangle A_2B_2C$；
(3) 在(2)的条件下，求出点 $B$ 所经过的路径长.
答案：8. (1)如图,△A₁B₁C即为所求作的图形 点A₁的坐标为(3,-3) (2)如图,△A₂B₂C即为所求作的图形$ (3)BC=\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}, $
∴ 点B所经过的路径长为$\frac{90\pi×\sqrt{17}}{180}=\frac{\sqrt{17}}{2}\pi$
9. (新考法·新定义题)如果两个一次函数 $y = k_1x + b_1 (k_1 \neq 0)$ 和 $y = k_2x + b_2 (k_2 \neq 0)$ 满足 $k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”. 如图，函数 $y = -2x + 4$ 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A$, $B$ 两点，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与 $y = -2x + 4$ 是“平行一次函数”.
(1) 若函数 $y = kx + b$ 的图象过点$(3,1)$，求 $b$ 的值；
(2) 若函数 $y = kx + b$ 的图象与两坐标轴围成的三角形和 $\triangle AOB$ 构成位似图形，位似中心为原点 $O$，相似比为 $\frac{1}{2}$，求函数 $y = kx + b$ 的解析式.
答案：9. (1)
∵ 一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”,
∴ k=-2.将(3,1)和k=-2代入y=kx+b,得1=-2×3+b.
∴ b=7 (2)根据相似比为$\frac{1}{2},$得函数y=kx+b的图象有两种情况：① 不经过第三象限,则过点(1,0),(0,2),此时对应的函数解析式为y=-2x+2. ② 不经过第一象限,则过点(-1,0),(0,-2),此时对应的函数解析式为y=-2x-2
