以点$O$为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1。
由图可知：$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
计算$\triangle OAB$的边长：
$OA=1$，$AB=1$，$OB=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$，
周长$C_1=OA+AB+OB=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$。
计算$\triangle OCD$的边长：
$OC=2$，$CD=2$，$OD=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$，
周长$C_2=OC+CD+OD=2+2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$。
则周长之比$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})}=\frac{1}{2}$。
$\triangle OAB$与$\triangle OCD$的周长之比是$1:2$。
B

证明：
∵以点$O$为位似中心，把$\triangle ABC$放大为原图形的$2$倍得到$\triangle A'B'C'$，
∴$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，点$C$，$O$，$C'$共线，$AB//A'B'$，$OA':OA = 2:1$，
∴$AO:AA' = AO:(OA' - OA) = 1:(2 - 1) = 1:1$，
故选项C错误。
答案：C

证明：
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为点O，
∴$\frac{OD}{OA} = \frac{OE}{OB} = \frac{OF}{OC} = k$（k为相似比倒数）。
∵$AD = \frac{1}{3}AO$，设$AO = 3x$，则$AD = x$，
∴$OD = AO - AD = 3x - x = 2x$。
∴$\frac{OD}{OA} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$，即$k = \frac{2}{3}$。
∴△ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{k} = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$