证明：在$\triangle ADE$和$\triangle ACB$中，$\angle A$为公共角。
① $\angle AED = \angle B$，两角对应相等，$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$；
② $DE // BC$，则$\angle ADE = \angle C$，$\angle AED = \angle B$，两角对应相等，$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$，非$\triangle ACB$；
③ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，两边对应成比例且夹角相等，$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$；
④ $AD · CB = DE · AC$，即$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{CB}$，非夹$\angle A$两边，不能判定；
⑤ $\angle ADE = \angle C$，两角对应相等，$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$。
能判定的有①③⑤，共3个。
C

解：设点$A(-a,0)$，$a＞0$，$D$为$AC$中点且在$y$轴上，$D(0,d)$，则$C(a,2d)$。
$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$BC=2\sqrt{5}$，$AB=BC\sqrt{2}=2\sqrt{10}$，$AB^2=a^2+OB^2=40$。
$AC^2=(2a)^2+(2d)^2=4a^2+4d^2=BC^2=20$，即$a^2+d^2=5$。
$BC^2=a^2+(OB-2d)^2=20$，$AB\perp AC$，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=a^2+2d· OB=0$，得$OB=-\frac{a^2}{2d}$。
联立$a^2+d^2=5$与$a^2+OB^2=40$，解得$d^2=1$，$a^2=4$。
$C(a,2d)$在$y=\frac{k}{x}$上，$k=a·2d=2ad$，$ad=2$，则$k=4$。
答案：$4$

∠BAC=∠CAD

解：设$AF = x$，则$FC = 4x$。
因为$AC = AF + FC = 10$，所以$x + 4x = 10$，解得$x = 2$，即$AF = 2$，$FC = 8$。
因为$AE = 2$，所以$AE = AF = 2$。
设$AB = CD = y$，$AD = BC = z$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，$\angle BAD = 90°$。
所以$\triangle AEF\sim\triangle CBF$，则$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}$，即$\frac{2}{z}=\frac{2}{8}$，解得$z = 8$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB^2 + BC^2 = AC^2$，即$y^2 + 8^2 = 10^2$，解得$y = 6$（负值舍去）。
故$AB$的长为$6$。