1. 下列各组三角形中，不一定相似的是 (
C
)
A.有一个锐角相等的两个直角三角形
B.有一个角为$60^{\circ}$的两个等腰三角形
C.有一个角相等的两个等腰三角形
D.有一个角为$110^{\circ}$的两个等腰三角形
答案：1.C
2. 如图,$E$是线段$BC$的中点,$∠B = ∠C = ∠AED$.下列结论中,错误的是 (
D
)
A.△$ABE$与△$ECD$相似
B.△$ABE$与△$AED$相似
C.$\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$
D.$∠BAE = ∠ADE$
答案：2.D
解析：
证明：
∵∠B=∠C=∠AED，E是BC中点，
∴∠AEB+∠DEC=180°-∠AED=180°-∠C=∠EDC+∠DEC，
∴∠AEB=∠EDC，
∴△ABE∽△ECD（A）正确；
由△ABE∽△ECD得$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{ED}$，
∵BE=EC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{ED}$，
又∠B=∠AED，
∴△ABE∽△AED（B）正确；
由△ABE∽△AED得$\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$（C）正确；
∵△ABE∽△AED，
∴∠BAE=∠EAD，∠ADE=∠AEB，
∵∠AEB≠∠EAD（除非AB=AE，题中未提及），
∴∠BAE≠∠ADE（D）错误。
结论：错误的是D。
D
3. 如图,在△$ABC$中,$AD$是中线,$BC = 8$,$∠B = ∠DAC$,则线段$AC$的长为
$4\sqrt{2}$
.
答案：3.$4\sqrt{2}$
解析：
证明：
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴BD=DC=4。
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC。
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，即$AC^2=BC · DC$。
∵BC=8，DC=4，
∴$AC^2=8 × 4=32$，
∴$AC=4\sqrt{2}$（负值舍去）。
$4\sqrt{2}$
4. 如图,在△$ABC$中,$AB = AC$,$AD$为边$BC$上的中线,$DE⊥AB$于点$E$.
(1) 求证:△$BDE \backsim △CAD$;
(2) 若$AB = 13$,$BC = 10$,求线段$DE$的长.
答案：4.(1)
∵AB=AC，AD为边BC上的中线，即BD=CD，
∴AD⊥BC，∠B = ∠C.
∴∠ADC = 90°.
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ADC.
∴△BDE∽△CAD
(2)由(1)知，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，AD⊥BC.
∴在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$=$\sqrt{13^{2}-5^{2}}$=12.
∵AB=AC，AB=13，
∴AC=13.
∵△BDE∽△CAD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BD}{CA}$，即$\frac{DE}{12}$=$\frac{5}{13}$，
∴DE=$\frac{60}{13}$
5. 如图,四边形$ABCD$为平行四边形,$E$为边$AD$上一点,连接$BE$,交对角线$AC$于点$F$,且$∠ACB = ∠ABE$.
(1) 求证:$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{EA}$;
(2) 若$EA = 2$,$EF = 1$,$AF=\frac{4}{3}$,求$CF$的长.
答案：5.(1)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠EAF=∠ACB.
∵∠ACB=∠ABE，
∴∠EAF=∠ABE.
∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA.
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EF}{EA}$
(2)
∵EA=2，EF=1，$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EF}{EA}$，
∴BE=4.
∴BF=BE - EF=3.
∵AD//BC，
∴△AEF∽△CBF.
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{3}$.
∵AF=$\frac{4}{3}$，
∴CF=4
