19. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$\tan B = 1$，$BC = 2$，$CD$是边$AB$上的中线，且$CD\perp BC$.求：
(1)$AB$的长；
(2)$\sin A$的值.
答案：19.(1)
∵tanB=1,
∴∠B=45°.
∵CD⊥BC,
∴∠BCD=90°.
∴△CBD是等腰直角三角形.
∵BC=2,
∴易得DB=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$.
∵CD是边AB上的中线，
∴AB=2BD=4$\sqrt{2}$
(2)过点C作CE⊥DB于点E.
∵△CBD是等腰直角三角形，CE⊥DB,DB=2$\sqrt{2}$,
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$DB=$\sqrt{2}$.
∴AE=AB−BE=4$\sqrt{2}$−$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$.
∴AC=$\sqrt{AE²+CE²}$=$\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
∴sinA=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
20. 如图，$D$是$\bigtriangleup ABC$边上的一点，$CD = 2AD$，$AE\perp BC$，垂足为$E$，$AE = 9$，$\sin\angle CBD = \frac{3}{4}$.
(1) 求$BD$的长；
(2) 若$BD = CD$，求$\tan\angle BAE$的值.
答案：20.(1)过点D作DF⊥BC于点F.
∵AE⊥BC,
∴DF//AE.
∴△CDF∽△CAE.
∴$\frac{DF}{AE}$=$\frac{CD}{CA}$.
∵CD=2AD,CD+AD=CA,
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{2}{3}$.
∵AE=9,
∴$\frac{DF}{9}$=$\frac{2}{3}$,解得DF=6.
∵sin∠CBD=$\frac{3}{4}$=$\frac{DF}{BD}$
∴BD=8 (2)
∵BD=CD,DF⊥BC,
∴BF=CF.由(1),知DF=6,BD=8,∠DFB=90°,
∴BF=CF=$\sqrt{BD²−DF²}$=2$\sqrt{7}$.
∵DF//AE,CD=2AD,
∴CF=2EF.
∴EF=$\sqrt{7}$.
∴BE=BF−EF=$\sqrt{7}$
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{7}}{9}$
21. 如图，$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，$BE\perp DC$，交$DC$的延长线于点$E$，$CB$平分$\angle ACE$.
(1) 求证：$BE$是$\odot O$的切线；
(2) 若$\cos\angle BAD = \frac{2}{5}$，$AC = 10$，求$EC$的长.
答案：21.(1)连接OB.
∵CB平分∠ACE，
∴∠BCA=∠ECB.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠BCA.
∴∠ECB=∠OBC.
∴EC//OB.
∵BE⊥DC,
∴OB⊥BE.
∵OB为⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线 (2)
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴易得∠ECB=∠BAD.
∵cos∠BAD=$\frac{2}{5}$,
∴cos∠ECB=$\frac{2}{5}$.
∵BE⊥DC,
∴cos∠ECB=$\frac{EC}{BC}$=$\frac{2}{5}$.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠BEC=90°.
∵∠ECB=∠BCA,
∴△ECB∽△BCA.
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{5}$.
∵AC=10,
∴BC=4.
∴EC=$\frac{8}{5}$
