证明勾股定理的常用方法：将一个图形的
面积
用两种方法表示,一种是将图形看成一个整体进行表示,另一种是用组成图形的各部分之和表示,从而得到一个等式,再化简等式即可,这种方法叫作“算两次”。
答案：面积
1. 在如图所示的图形中,能够验证勾股定理的有(
D
)
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
答案：D
解析：
1. 第一个图形：大正方形边长为$a+b$，面积$(a+b)^2$。内部小正方形边长为$c$，4个直角三角形面积和$4×\frac{1}{2}ab=2ab$。则$(a+b)^2=c^2+2ab$，展开得$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
2. 第二个图形：大正方形边长为$c$，面积$c^2$。内部小正方形边长为$b-a$，4个直角三角形面积和$4×\frac{1}{2}ab=2ab$。则$c^2=(b-a)^2+2ab$，展开得$c^2=b^2-2ab+a^2+2ab$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
3. 第三个图形：梯形上底为$a$，下底为$b$，高为$a+b$，面积$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$。梯形由两个直角边为$a$、$b$的直角三角形和一个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，面积和$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。则$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，展开得$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，化简得$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，即$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
4. 三个图形均能验证勾股定理，结论：D
2. 若一个直角三角形的三边长分别为 2,3,x,则以 x 为边长的正方形的面积为(
C
)
A.5
B.13
C.5 或 13
D.4
答案：C
解析：
当x为直角边时，$x^2=3^2 - 2^2=9 - 4=5$；当x为斜边时，$x^2=3^2 + 2^2=9 + 4=13$。以x为边长的正方形的面积为5或13。C
3. 若直角三角形一条直角边长为 6,斜边长为 10,则斜边上的高是(
B
)
A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{24}{5}$
C.5
D.6
答案：B
解析：
设直角三角形的另一条直角边长为$a$，斜边上的高为$h$。
由勾股定理得：$a^2 + 6^2 = 10^2$，即$a^2 + 36 = 100$，$a^2 = 64$，解得$a = 8$。
三角形面积$S = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
又因为$S = \frac{1}{2} × 10 × h$，所以$\frac{1}{2} × 10 × h = 24$，解得$h = \frac{24}{5}$。
B
4. 如图,由 4 个相同的直角三角形拼成 2 个正方形,则 4 个直角三角形的面积+小正方形的面积= 大正方形的面积,即
$4× \frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$
,化简得______
$a^2+b^2=c^2$
。
答案：$4× \frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$ $a^2+b^2=c^2$
5. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,AB= 15,AD= 12,AC= 13. 求 BC 的长.
答案：解:$\because AD\perp BC$,$\therefore \angle ADB=\angle ADC=90°$.
$\because AB=15$,$AD=12$,
$\therefore$在$Rt\triangle ABD$中,$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=81$,
$\therefore BD=9$.
$\because AC=13$,$AD=12$,
$\therefore$在$Rt\triangle ACD$中,$CD^2=AC^2-AD^2=13^2-12^2=25$,
$\therefore CD=5$.$\therefore BC=BD+CD=9+5=14$.
