已知点$A_1(2,1)$，友好点定义为$P'(y - 1,-x - 1)$。
$A_2$：$y=1$，$x=2$，则$A_2(1 - 1,-2 - 1)=(0,-3)$；
$A_3$：$y=-3$，$x=0$，则$A_3(-3 - 1,-0 - 1)=(-4,-1)$；
$A_4$：$y=-1$，$x=-4$，则$A_4(-1 - 1,-(-4) - 1)=(-2,3)$；
$A_5$：$y=3$，$x=-2$，则$A_5(3 - 1,-(-2) - 1)=(2,1)$。
周期为$4$，$2023÷4=505\cdots\cdots3$，余数为$3$，故$A_{2023}=A_3=(-4,-1)$。
$(-4,-1)$

解：点$A_1$的横坐标为$1$。
点$A_2$的横坐标：$1 + 2 = 3$
点$A_3$的横坐标：$3 + 4 = 7$
点$A_4$的横坐标：$7 + 8 = 15$
观察可得，每次向右平移的单位长度依次为$2, 4, 8, \ldots, 2^{n-1}$（$n \geq 2$）。
横坐标的规律为：$1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{n-1}$
这是首项为$1$，公比为$2$的等比数列前$n$项和，根据等比数列求和公式$S_n = 2^n - 1$
故点$A_n$的横坐标为$2^n - 1$
$2^n - 1$

解：观察点的坐标规律：
$A_1(1,-\sqrt{3})$，$A_2(3,-\sqrt{3})$，$A_3(4,0)$，$A_4(6,0)$，$A_5(7,\sqrt{3})$，$A_6(9,\sqrt{3})$，$A_7(10,0)$，$A_8(11,-\sqrt{3})$，$A_9(13,-\sqrt{3})$，$A_{10}(14,0)$，$A_{11}(16,0)$，$A_{12}(17,\sqrt{3})$，$\cdots$
周期为7，每个周期内点的坐标依次为：$(7k+1,-\sqrt{3})$，$(7k+3,-\sqrt{3})$，$(7k+4,0)$，$(7k+6,0)$，$(7k+7,\sqrt{3})$，$(7k+9,\sqrt{3})$，$(7k+10,0)$（$k$为非负整数）。
计算$2024÷7=289\cdots\cdots1$，其中余数为1。
对应周期内第1个点的坐标形式$(7k+1,-\sqrt{3})$，此时$k=289$。
横坐标：$7×289 + 1=2023 + 1=2024$？（此处原解析有误，经重新分析，正确周期为7，每个周期横坐标增量为7，前7个点横坐标差为$10 - 1=9$，实际每个周期7个点，横坐标依次增加2,1,2,1,2,1,1，累计增加10，故周期增量为10，$2024÷7=289\cdots\cdots1$，横坐标：$1 + 289×10 + 0=2891$，纵坐标为$-\sqrt{3}$。
$A_{2024}$的坐标为$(2891,-\sqrt{3})$。
$(2891,-\sqrt{3})$

点$(1,4)$第1次运算：$1$是奇数，$1×3 + 1 = 4$；$4$是偶数，$4÷2 = 2$，得到$(4,2)$。
第2次运算：$4$是偶数，$4÷2 = 2$；$2$是偶数，$2÷2 = 1$，得到$(2,1)$。
第3次运算：$2$是偶数，$2÷2 = 1$；$1$是奇数，$1×3 + 1 = 4$，得到$(1,4)$。
第4次运算：$1$是奇数，$1×3 + 1 = 4$；$4$是偶数，$4÷2 = 2$，得到$(4,2)$。
运算结果以$(1,4)\to(4,2)\to(2,1)\to(1,4)\to\cdots$循环，周期为3。
$2024÷3 = 674\cdots\cdots2$，余数为2。
经过2024次运算后得到点的坐标为$(2,1)$。