1. 若点 $ A $ 在 $ \odot O $ 上,过点 $ A $ 画 $ \odot O $ 的切线,能画几条？
答案：1. 因为点A在⊙O上，根据切线的性质定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2. 过点A只能作一条直线垂直于OA（OA为半径）。
3. 所以过点A能画1条⊙O的切线。
结论：1条
2. 如图 $ 2 - 19 $,三角尺的直角顶点 $ A $ 在 $ \odot O $ 上,一条直角边经过圆心 $ O $,另一条直角边经过 $ \odot O $ 外一点 $ P $,$ PA $ 是 $ \odot O $ 的切线吗？为什么？
答案：PA是⊙O的切线。
理由：连接OA。
∵点A在⊙O上，
∴OA是⊙O的半径。
∵∠PAO=90°（三角尺的直角顶点为A），
∴OA⊥PA。
∵OA是⊙O的半径，且OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线（切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。
答案：能画2条。
画法：
1. 连接OP；
2. 以OP为直径作圆，与已知圆交于A、B两点；
3. 连接PA、PB。
则PA、PB即为所求切线。
1. 如图 $ 2 - 21 $,$ PA $ 为 $ \odot O $ 的一条切线,切点为 $ A $. 沿直线 $ PO $ 将 $ \odot O $ 对折,由于 $ PO $ 经过圆心 $ O $,所以 $ PO $ 是圆的一条对称轴. 设点 $ B $ 落在点 $ A $ 上,$ OB $ 是 $ \odot O $ 的一条
半径
,$ PB $ 是 $ \odot O $ 的一条
切线
.
答案：半径，切线
解析：
根据题意，$PA$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $A$，根据切线的性质可知 $OA \perp PA$。
沿直线 $PO$ 对折 $\odot O$，$PO$ 是圆的对称轴，点$B$落在点$A$上，则$OB$为半径；
由于对称性质，$PB$与$PA$重合（在对折意义下），即$PB$也与$OA$垂直，且$PB$与圆相交于一点（即$B$点，也是$A$点的对称点），所以$PB$是圆的切线。
2. 在上述操作中,若 $ PO $ 交 $ \odot O $ 于点 $ C $、$ D $,图中有哪些相等关系？怎样证明这些相等关系？
答案：1. 首先分析相等关系：
相等关系有：$PA = PB$，$\angle APO=\angle BPO$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
2. 然后证明$PA = PB$，$\angle APO=\angle BPO$：
连接$OA$，$OB$。
因为$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp PA$，$OB\perp PB$（切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径），即$\angle OAP = \angle OBP=90^{\circ}$。
又因为$OA = OB$（同圆的半径相等），$OP = OP$（公共边）。
在$Rt\triangle OAP$和$Rt\triangle OBP$中，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：
$Rt\triangle OAP\cong Rt\triangle OBP$（$\left\{\begin{array}{l}OA = OB\\OP = OP\end{array}\right.$）。
所以$PA = PB$，$\angle APO=\angle BPO$（全等三角形的对应边相等，对应角相等）。
3. 接着证明$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$：
因为$\angle APO=\angle BPO$，$OA = OB$，$OC = OA$，$OD = OB$（同圆半径相等）。
根据圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等。
连接$OC$，$OD$，$\angle AOC = 2\angle APO$，$\angle BOC = 2\angle BPO$（圆心角与圆周角的关系：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，这里$PA$，$PB$是切线，$\angle OAP=\angle OBP = 90^{\circ}$，$\angle AOC$与$\angle APO$，$\angle BOC$与$\angle BPO$存在这样的关系）。
由于$\angle APO=\angle BPO$，所以$\angle AOC=\angle BOC$，则$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
又因为$\angle AOD = 180^{\circ}-\angle AOC$，$\angle BOD = 180^{\circ}-\angle BOC$，所以$\angle AOD=\angle BOD$，则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
综上，相等关系为$PA = PB$，$\angle APO=\angle BPO$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；证明过程如上述。
解析：
由于题目中未给出“上述操作”的具体内容及图形，无法确定图中相等关系及证明过程，故无法作答。1
1. 如图,$ PA $、$ PB $ 是 $ \odot O $ 的两条切线,切点分别为 $ A $、$ B $,$ AC $ 是 $ \odot O $ 的直径,连接 $ AB $、$ BC $、$ OP $,图中与 $ \angle AOP $ 相等的角有(
D
)
A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个
答案：D
解析：
∵PA、PB是⊙O切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，OP平分∠APB且OP垂直平分AB（切线长定理）.
∵OA=OB，∴OP平分∠AOB，即∠AOP=∠BOP（1个）.
∵AC是直径，∴∠ABC=90°（直径所对圆周角）.
∵OP⊥AB，设垂足为D，则∠OAD+∠AOP=90°，又∠OAD+∠PAB=90°（∠OAP=90°），∴∠AOP=∠PAB（2个）.
∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，故∠AOP=∠PBA（3个）.
∵∠ABC=90°，∠OBA=∠OAB=90°-∠AOP，∴∠OBC=90°-∠OBA=∠AOP（4个）.
∵OB=OC，∴∠OBC=∠ACB，故∠AOP=∠ACB（5个）.
综上，与∠AOP相等的角有∠BOP、∠PAB、∠PBA、∠OBC、∠ACB，共5个.
2. 从圆外一点 $ P $ 向半径为 $ 9 \, cm $ 的圆画切线,所得切线长为 $ 18 \, cm $,则点 $ P $ 与圆上各点所连线段中最短的一条长为
9√5 - 9
$ cm $.
答案：9√5 - 9
解析：
设圆心为O，切点为A，连接OA、OP。
∵PA是切线，∴OA⊥PA，OA=9cm，PA=18cm。
在Rt△POA中，OP²=OA²+PA²=9²+18²=81+324=405，∴OP=√405=9√5 cm。
点P与圆上各点所连线段中最短的长为OP - OA = 9√5 - 9 cm。
