2. 如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BCD= $110^{\circ}$,则∠BOD= ______
140°
.
答案：140°
解析：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=110°，∴∠BAD=180°-∠BCD=70°。∵∠BOD和∠BAD分别是弧BD所对的圆心角和圆周角，∴∠BOD=2∠BAD=140°。
3. 如图,在平面直角坐标系中,A、C分别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点,点B、D在⊙O上,则∠ADC=
45°
.
答案：45°
解析：
∵A、C分别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，∴∠AOC=90°。∠ADC与∠ABC所对的弧均为弧AC，根据同弧所对的圆周角相等，∠ADC=∠ABC。又∵∠ABC是∠AOC所对的圆周角，∠AOC是圆心角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∴∠ABC=1/2∠AOC=45°，故∠ADC=45°。
4. 如图,AB是半圆O的直径,点C、D在$\overgroup{AB}$上,∠ADC= $120^{\circ}$,求∠BAC的度数.
答案：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠ADC=120°，四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-120°=60°。
在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°。
30°
1. 已知四边形ABCD内接于⊙O,且∠A、∠C的度数之比为1:2,则∠BOD=
$120^{\circ}$
.
答案：$120^{\circ}$（按照要求这里应只填角度值对应的规范表达，若题目是填空题形式，这里直接填$120^{\circ}$相关规范答案，由于是直接填结果，所以答案填$120^{\circ}$ （若题目要求度数不带单位，可填120 ） 。 ）
解析：
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质，其对角互补，所以$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$。
已知$\angle A$与$\angle C$的度数之比为$1:2$，设$\angle A = x$，则$\angle C = 2x$，可得$x + 2x = 180^{\circ}$，即$3x = 180^{\circ}$，解得$x = 60^{\circ}$，所以$\angle A = 60^{\circ}$。
根据同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，$\angle BOD$与$\angle A$分别是同弧$BD$所对的圆心角和圆周角，所以$\angle BOD = 2\angle A = 120^{\circ}$。
2. 如图,点A、B、C、D在⊙O上,圆心O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,求∠OAD+∠OCD的度数.
答案：连接OB、OD。
∵四边形OABC为平行四边形，OA=OC（半径），
∴OABC为菱形，OA=AB=BC=OC。
∵OA=OB=OC（半径），
∴△OAB、△OBC为等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
设∠OAD=α，∠OCD=β。
∵OA=OD=OC（半径），
∴△OAD、△OCD为等腰三角形，
∴∠OAD=∠ODA=α，∠OCD=∠ODC=β，
∴∠AOD=180°-2α，∠COD=180°-2β。
∵点A、B、C、D在⊙O上，∠AOD+∠COD+∠AOC=360°（圆心角和为周角），
∴(180°-2α)+(180°-2β)+120°=360°，
化简得2α+2β=120°，
∴α+β=60°，即∠OAD+∠OCD=60°。
60°
3. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,点M在BA的延长线上,∠CAM的平分线与⊙O相交于点E,连接BE、CE. 求证：BE= CE.
答案：解：
因为$AE$平分$\angle CAM$，所以$\angle MAE = \angle EAC$。
又因为$\angle MAE$与$\angle ECB$是同弧$\overset{\frown}{EB}$所对的圆周角（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），所以$\angle MAE=\angle ECB$。
而$\angle EAC$与$\angle EBC$是同弧$\overset{\frown}{EC}$所对的圆周角，所以$\angle EAC = \angle EBC$。
由$\angle MAE = \angle EAC$，$\angle MAE=\angle ECB$，$\angle EAC = \angle EBC$，可得$\angle EBC=\angle ECB$。
在$\triangle EBC$中，根据“等角对等边”，因为$\angle EBC=\angle ECB$，所以$BE = CE$。
综上，$BE = CE$得证。
