11. 已知$x = 1是关于x的一元二次方程x ^ { 2 } + a x + b = 0$的一个根,则代数式$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a b$的值是
1
.
答案：1
解析：
已知$x=1$是方程$x^{2}+ax+b=0$的一个根，代入得：
$1^{2}+a × 1+b=0$，
即$a+b=-1$。
需要求的代数式为$a^{2}+b^{2}+2ab$，根据完全平方公式可化简为：
$a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}$。
将$a+b=-1$代入得：
$(a+b)^{2}=(-1)^{2}=1$。
12. 如图,圆锥的底面半径为6cm,高为8cm,这个圆锥的侧面积是
60π
$c m ^ { 2 }$.
答案：$60\pi$
解析：
圆锥的底面半径$r = 6cm$，高$h = 8cm$，根据勾股定理，圆锥的母线长$l$（即斜高）为：
$l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10(cm)$。
圆锥的侧面积公式为$S = \pi r l$，将$r = 6cm$，$l = 10cm$代入公式得：
$S=\pi×6×10 = 60\pi(cm^{2})$。
13. 一组数据$x _ { 1 }$,$x _ { 2 }$,…,$x _ { n }$的方差为$s ^ { 2 }$,那么数据$x _ { 1 } - 5$,$x _ { 2 } - 5$,…,$x _ { n } - 5$的方差为
$s^2$
.
答案：$s^2$
解析：
设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据的平均数为$\overline{x}-5$。原方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]$，新方差为$\frac{1}{n}[(x_1-5-(\overline{x}-5))^2+\cdots+(x_n-5-(\overline{x}-5))^2]=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]=s^2$
14. 在菱形$ABCD$中,$P是对角线AC$上的任意一点(不与$A$、$C$两点重合),以点$P为圆心的圆与AB$相切,则$AD与\odot P$的位置关系是
相切
.
答案：相切
解析：
∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB。∵以点P为圆心的圆与AB相切，∴点P到AB的距离等于⊙P的半径r。∵P在AC上，∴点P到AD的距离等于点P到AB的距离，即点P到AD的距离等于r。∴AD与⊙P相切。
15. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 9 0 ^ { \circ }$,$CA = CB = 2$,分别以点$A$、$B$、$C$为圆心,1为半径画弧,3条弧与$AB$所围成的阴影部分的周长是
π
.
答案：π
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$CA=CB=2$，则$AB=2\sqrt{2}$，$\angle A=\angle B=45^\circ$。
以$A$为圆心、1为半径的弧：圆心角为$\angle A=45^\circ$，弧长$l_1=\frac{45\pi×1}{180}=\frac{\pi}{4}$。
以$B$为圆心、1为半径的弧：圆心角为$\angle B=45^\circ$，弧长$l_2=\frac{45\pi×1}{180}=\frac{\pi}{4}$。
以$C$为圆心、1为半径的弧：圆心角为$\angle C=90^\circ$，弧长$l_3=\frac{90\pi×1}{180}=\frac{\pi}{2}$。
阴影部分周长为$l_1+l_2+l_3=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\pi$。
16. 如图,半圆$O的直径AB = 1 0 c m$,弦$AC = 6 c m$,$AD平分\angle BAC$,则$AD$的长为
4√5
.
答案：4√5
解析：
连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°。在Rt△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8cm。
以A为原点，AB为x轴建立坐标系，A(0,0)，B(10,0)，设C(x,y)，则x²+y²=36，(x-10)²+y²=64，解得x=18/5，y=24/5，即C(18/5,24/5)。
设AD平分∠BAC，D到AC、AB距离相等，设D纵坐标为h（即到AB距离），则D(x1,h)。AC方程为y=(4/3)x，D到AC距离h=|4x1-3h|/5，得x1=2h，故D(2h,h)。
∵D在半圆上，圆心O(5,0)，半径5，∴(2h-5)²+h²=25，解得h=4（h=0舍去），则D(8,4)。
AD=√(8²+4²)=√80=4√5 cm。
17. 解下列方程(每题4分,共12分)
(1)$7 ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } = 2 8$;
(2)$2 x ^ { 2 } + 1 = 4 x$;
(3)$3 ( x - 2 ) ^ { 2 } = x ( x - 2 )$.
答案：(1)
已知$7(2x - 3)^{2}=28$，
则$(2x - 3)^{2}=4$，
$2x - 3=\pm2$，
当$2x - 3 = 2$时，$2x=5$，$x=\frac{5}{2}$；
当$2x - 3=-2$时，$2x = 1$，$x=\frac{1}{2}$。
所以方程的解为$x_{1}=\frac{5}{2}$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
(2)
已知$2x^{2}+1 = 4x$，
移项得$2x^{2}-4x + 1=0$，
其中$a = 2$，$b=-4$，$c = 1$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×1=16 - 8 = 8$，
$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$。
所以方程的解为$x_{1}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
(3)
已知$3(x - 2)^{2}=x(x - 2)$，
移项得$3(x - 2)^{2}-x(x - 2)=0$，
提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)[3(x - 2)-x]=0$，
即$(x - 2)(3x-6 - x)=0$，
$(x - 2)(2x - 6)=0$，
则$x - 2=0$或$2x - 6=0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=3$。
18. (8分)已知关于$x的一元二次方程x ^ { 2 } - ( 2 k + 1 ) x + k ^ { 2 } + 2 k = 0有两个实数根x _ { 1 }$,$x _ { 2 }$. 求实数$k$的取值范围.
答案：
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta = [-(2k + 1)]^2 - 4×1×(k^2 + 2k) \geq 0$，
即$4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 8k \geq 0$，
化简得$-4k + 1 \geq 0$，
解得$k \leq \frac{1}{4}$。
$k$的取值范围是$k \leq \frac{1}{4}$。
