2. 选择题：
(1) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 有两个实数根,$b^{2}-4ac$ 满足的条件是 (
D
)
A. $b^{2}-4ac = 0$ B. $b^{2}-4ac＞0$
C. $b^{2}-4ac＜0$ D. $b^{2}-4ac\geq0$
(2) 已知关于 $x$ 的方程 $(a - 5)x^{2}-4x - 1 = 0$ 有两个实数根,$a$ 满足 (
C
)
A. $a\geq1$ B. $a＞1$ 且 $a\neq5$
C. $a\geq1$ 且 $a\neq5$ D. $a\neq5$
答案：(1) D
(2) C
解析：
(1) 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）有两个实数根的条件是判别式 $b^2 - 4ac \geq 0$（可以有两个相等的实数根或不相等的实数根）。
因此 $b^2 - 4ac$ 满足的条件是 $b^2 - 4ac \geq 0$。
(2) 关于 $x$ 的方程 $(a - 5)x^2 - 4x - 1 = 0$ 有两个实数根的条件是：
1. 二次项系数 $a - 5 \neq 0$，即 $a \neq 5$。
2. 判别式 $(-4)^2 - 4(a - 5)(-1) \geq 0$，即 $16 + 4(a - 5) \geq 0$，化简得 $4a - 20 + 16 \geq 0$，即 $4a \geq 4$，所以 $a \geq 1$。
因此 $a$ 满足的条件是 $a \geq 1$ 且 $a \neq 5$。
3. 不解方程,判别下列方程的根的情况：
(1) $x^{2}+3x - 2 = 0$； (2) $x^{2}-7x + 7 = 0$；
(3) $x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$； (4) $y^{2}+(2k + 1)y+(k - 1) = 0$.
答案：(1) 对于方程 $x^{2} + 3x - 2 = 0$，
$a = 1, b = 3, c = -2$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 × 1 × ( - 2) = 9 + 8 = 17 ＞ 0$，
所以，方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程 $x^{2} - 7x + 7 = 0$，
$a = 1, b = -7, c = 7$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 7)^{2} - 4 × 1 × 7 = 49 - 28 = 21 ＞ 0$
所以，方程有两个不相等的实数根。
(3) 对于方程 $x^{2} - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$，
$a = 1, b = - 2\sqrt{2}, c = 2$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 2\sqrt{2})^{2} - 4 × 1 × 2 = 8 - 8 = 0$，
所以，方程有两个相等的实数根。
(4) 对于方程 $y^{2} + (2k + 1)y + (k - 1) = 0$，
$a = 1, b = 2k + 1, c = k - 1$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (2k + 1)^{2} - 4 × 1 × (k - 1) = 4k^{2} + 4k + 1 - 4k + 4 = 4k^{2} + 5$，
因为 $4k^{2} + 5 ＞ 0$，
所以，方程有两个不相等的实数根。
4. 当 $k$ 取什么值时,关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-(k + 2)x + 2k - 2 = 0$ 有两个相等的实数根？求此时方程的根.
答案：要使方程 $2x^{2}-(k + 2)x + 2k - 2 = 0$ 有两个相等的实数根，需判别式 $\Delta = 0$。
1. 计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(k+2)]^{2}-4×2×(2k-2)\\&=(k^{2}+4k+4)-8(2k-2)\\&=k^{2}+4k+4-16k+16\\&=k^{2}-12k+20\end{aligned}$
2. 令判别式等于0求解k：
$k^{2}-12k+20=0$
因式分解得：
$(k-2)(k-10)=0$
解得 $k=2$ 或 $k=10$。
3. 当$k=2$时：
方程化为 $2x^{2}-4x + 2 = 0$，即 $x^{2}-2x + 1 = 0$，$(x-1)^{2}=0$，根为 $x_{1}=x_{2}=1$。
4. 当$k=10$时：
方程化为 $2x^{2}-12x + 18 = 0$，即 $x^{2}-6x + 9 = 0$，$(x-3)^{2}=0$，根为 $x_{1}=x_{2}=3$。
综上，当 $k=2$ 时，方程的根为 $x=1$；当 $k=10$ 时，方程的根为 $x=3$。
1. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2)^{2}x^{2}+(2m + 1)x + 1 = 0$.
(1) $m$ 为何值时,方程有两个不相等的实数根？
(2) $m$ 为何值时,方程有两个相等的实数根？
(3) $m$ 为何值时,方程没有实数根？
答案：答题卡：
(1)
方程为一元二次方程，所以$m - 2\neq 0$，即$m\neq 2$。
$\Delta=(2m + 1)^{2}-4×(m - 2)^{2}×1$
$=4m^{2}+4m + 1-4(m^{2}-4m + 4)$
$=4m^{2}+4m + 1 - 4m^{2}+16m - 16$
$=20m - 15$
当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，即$20m - 15＞0$，
$20m＞15$，
解得$m＞\frac{3}{4}$，
所以当$m＞\frac{3}{4}$且$m\neq 2$时，方程有两个不相等的实数根。
(2)
当方程有两个相等的实数根时，$\Delta = 0$，即$20m - 15 = 0$，
$20m=15$，
解得$m=\frac{3}{4}$。
(3)
当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，即$20m - 15＜0$，
$20m＜15$，
解得$m＜\frac{3}{4}$。
综上：
(1)$m＞\frac{3}{4}$且$m\neq 2$；
(2)$m = \frac{3}{4}$；
(3)$m＜\frac{3}{4}$。
2. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx - 2 = 0$,试说明不论 $m$ 取何值,此方程都有两个不相等的实数根.
答案：要判断一元二次方程 $x^2 - mx - 2 = 0$ 根的情况，需计算判别式 $\Delta$。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程 $x^2 - mx - 2 = 0$ 中，$a = 1$，$b = -m$，$c = -2$。
则 $\Delta = (-m)^2 - 4 × 1 × (-2) = m^2 + 8$。
因为无论 $m$ 取何值，$m^2 \geq 0$，所以 $m^2 + 8 \geq 8 ＞ 0$，即 $\Delta ＞ 0$。
因此，不论 $m$ 取何值，此方程都有两个不相等的实数根。
