【新知理解】
如图①,点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,图中共有三条线段 $ AB $,$ AC $ 和 $ BC $. 若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的 $ 2 $ 倍,则称点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的“巧点”.
(1) 线段的中点
是
这条线段的“巧点”.(填“是”或“不是”)
(2) 若 $ AB = 12\ cm $,点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的“巧点”,则 $ AC = $
4或6或8
$ cm $.
【解决问题】
(3) 如图②,$ AB = 12\ cm $,动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以 $ 2\ cm/s $ 的速度沿 $ AB $ 向点 $ B $ 匀速移动；点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发,以 $ 1\ cm/s $ 的速度沿 $ BA $ 向点 $ A $ 匀速移动. 点 $ P $,$ Q $ 同时出发,当其中一点到达终点时,运动停止,设移动的时间为 $ t(s) $. 当 $ t $ 为何值时,$ A $,$ P $,$ Q $ 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？请说明理由.
解:t秒后,$AP=2t$,$AQ=12-t(0\leqslant t\leqslant 6)$. ① 由题意可知A不可能为P,Q两点的“巧点”,此情况排除. ② 当P为A,Q的“巧点”时,Ⅰ.$AP=\frac{1}{3}AQ$,即$2t=\frac{1}{3}(12-t)$,解得$t=\frac{12}{7}s$;Ⅱ.$AP=\frac{1}{2}AQ$,即$2t=\frac{1}{2}(12-t)$,解得$t=\frac{12}{5}s$；Ⅲ.$AP=\frac{2}{3}AQ$,即$2t=\frac{2}{3}(12-t)$,解得t=3s. ③ 当Q为A,P的“巧点”时,Ⅰ.$AQ=\frac{1}{3}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{1}{3}$,解得$t=\frac{36}{5}s$(舍去);Ⅱ.$AQ=\frac{1}{2}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{1}{2}$,解得t=6s;Ⅲ.$AQ=\frac{2}{3}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{2}{3}$,解得$t=\frac{36}{7}s$.综上,当$t=\frac{12}{7}s$或$t=\frac{12}{5}s$或t=3s时,P为A,Q的“巧点”;当t=6s或$t=\frac{36}{7}s$时,Q为A,P的“巧点”.
答案：解:
(1)是；
(2)4或6或8；
(3)t秒后,$AP=2t$,$AQ=12-t(0\leqslant t\leqslant 6)$. ① 由题意可知A不可能为P,Q两点的“巧点”,此情况排除. ② 当P为A,Q的“巧点”时,Ⅰ.$AP=\frac{1}{3}AQ$,即$2t=\frac{1}{3}(12-t)$,解得$t=\frac{12}{7}s$;Ⅱ.$AP=\frac{1}{2}AQ$,即$2t=\frac{1}{2}(12-t)$,解得$t=\frac{12}{5}s$；Ⅲ.$AP=\frac{2}{3}AQ$,即$2t=\frac{2}{3}(12-t)$,解得t=3s. ③ 当Q为A,P的“巧点”时,Ⅰ.$AQ=\frac{1}{3}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{1}{3}$,解得$t=\frac{36}{5}s$(舍去);Ⅱ.$AQ=\frac{1}{2}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{1}{2}$,解得t=6s;Ⅲ.$AQ=\frac{2}{3}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{2}{3}$,解得$t=\frac{36}{7}s$.综上,当$t=\frac{12}{7}s$或$t=\frac{12}{5}s$或t=3s时,P为A,Q的“巧点”;当t=6s或$t=\frac{36}{7}s$时,Q为A,P的“巧点”.
