11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AB= 5\ cm$,$BC= 4\ cm$,若点 $P$ 从点 $A$ 出发,以每秒 $2\ cm$ 的速度沿折线 $A-B-C-A$ 运动,设运动时间为 $t$ 秒($t＞0$).
(1)若点 $P$ 在 $BC$ 上,且满足 $PA= PB$,求此时 $t$ 的值;
(2)若点 $P$ 恰好在 $\angle ABC$ 的平分线上,求此时 $t$ 的值;
(3)在点 $P$ 运动过程中,当 $t$ 为何值时,$\triangle ACP$ 为等腰三角形.
答案：(1)如图
(1)，设PB = PA = x cm，则PC = (4 - x)cm，
∵∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 4 cm，
∴AC = 3 cm。在Rt△ACP中，$AC^{2}+PC^{2}=AP^{2}$，
∴$3^{2}+(4 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x=\frac{25}{8}$，
∴$BP=\frac{25}{8}$cm，
∴$t=\frac{AB + BP}{2}=\frac{5+\frac{25}{8}}{2}=\frac{65}{16}$。
(2)如图
(2)，过点P作PD⊥AB于点D。
∵BP平分∠ABC，∠C = 90°，
∴PD = PC。
∵BP = BP，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC(HL)，
∴BC = BD = 4 cm，
∴AD = 5 - 4 = 1(cm)。设PD = PC = y cm，则AP = (3 - y)cm，在Rt△ADP中，$AD^{2}+PD^{2}=AP^{2}$，
∴$1^{2}+y^{2}=(3 - y)^{2}$，解得$y=\frac{4}{3}$，
∴$CP=\frac{4}{3}$cm，
∴$t=\frac{AB + BC + CP}{2}=\frac{5 + 4+\frac{4}{3}}{2}=\frac{31}{6}$；当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的平分线上，此时，$t=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$。综上所述，点P恰好在∠ABC的平分线上时，t的值为$\frac{31}{6}$或$\frac{5}{2}$。
(3)分四种情况：
①如图
(3)，当P在AB上，且AP = CP时，
∠A = ∠ACP，而∠A + ∠B = 90°，∠ACP + ∠BCP = 90°，
∴∠B = ∠BCP，
∴CP = BP，
∴P是AB的中点，即$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$cm，
∴$t=\frac{AP}{2}=\frac{5}{4}$；
②如图
(4)，当P在AB上且AP = CA = 3 cm时，$t=\frac{AP}{2}=\frac{3}{2}$；
③如图
(5)，当P在AB上且AC = PC时，过点C作CD⊥AB于点D，则$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12}{5}$cm，
∴在Rt△ACD中，$AD=\frac{9}{5}$cm，
∴$AP = 2AD=\frac{18}{5}$cm，
∴$t=\frac{AP}{2}=\frac{9}{5}$；
④如图
(6)，当P在BC上且AC = PC = 3 cm时，BP = 4 - 3 = 1(cm)，
∴$t=\frac{AB + BP}{2}=\frac{6}{2}=3$。
综上所述，当$t=\frac{5}{4}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{5}$或3时，△ACP为等腰三角形。
