1. (2024·济宁期中)根据等式和不等式的性质,可以得到:若$a - b ＞ 0$,则$a ＞ b$;若$a - b = 0$,则$a = b$;若$a - b ＜ 0$,则$a ＜ b$.这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.
(1)试比较代数式$5m^{2}-4m + 2与4m^{2}-4m - 7$的值的大小.
解:$(5m^{2}-4m + 2)-(4m^{2}-4m - 7)= 5m^{2}-4m + 2 - 4m^{2}+4m + 7 = m^{2}+9$,因为$m^{2}$是非负数,所以$m^{2}+9 ＞ 0$,所以$5m^{2}-4m + 2$
＞
$4m^{2}-4m - 7$.(用“＞”或“＜”填空)
(2)已知$A = 5m^{2}-4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})$,$B = 7(m^{2}-m)+3$,请你运用前面介绍的方法比较代数式$A与B$的大小.
因为$A=5m^{2}-4(\frac {7}{4}m-\frac {1}{2}),B=7(m^{2}-m)+3$,所以$A-B=5m^{2}-4(\frac {7}{4}m-\frac {1}{2})-7(m^{2}-m)-3=5m^{2}-7m+2-7m^{2}+7m-3=-2m^{2}-1$.因为$-2m^{2}$是非正数,所以$-2m^{2}-1＜0$,则$A＜B$.
(3)已知$A = 6m^{2}+4m + 2$,$B = 3(2m^{2}+m + 1)$,比较代数式$A与B$的大小.
因为$A=6m^{2}+4m+2,B=3(2m^{2}+m+1)$,所以$A-B=6m^{2}+4m+2-3(2m^{2}+m+1)=m-1$,当$m＞1$时,$m-1＞0$,则$A＞B$;当$m=1$时,$m-1=0$,则$A=B$;当$m＜1$时,$m-1＜0$,则$A＜B$.
答案：1. (1) ＞ 解析:$(5m^{2}-4m+2)-(4m^{2}-4m-7)=5m^{2}-4m+2-4m^{2}+4m+7=m^{2}+9$,因为$m^{2}$是非负数,所以$m^{2}+9＞0$,所以$5m^{2}-4m+2＞4m^{2}-4m-7$.
(2) 因为$A=5m^{2}-4(\frac {7}{4}m-\frac {1}{2}),B=7(m^{2}-m)+3$,所以$A-B=5m^{2}-4(\frac {7}{4}m-\frac {1}{2})-7(m^{2}-m)-3=5m^{2}-7m+2-7m^{2}+7m-3=-2m^{2}-1$.因为$-2m^{2}$是非正数,所以$-2m^{2}-1＜0$,则$A＜B$.
(3) 因为$A=6m^{2}+4m+2,B=3(2m^{2}+m+1)$,所以$A-B=6m^{2}+4m+2-3(2m^{2}+m+1)=m-1$,当$m＞1$时,$m-1＞0$,则$A＞B$;当$m=1$时,$m-1=0$,则$A=B$;当$m＜1$时,$m-1＜0$,则$A＜B$.
2. 新趋势 过程性学习 一个两位数的十位上的数为$a$,个位上的数为$b$,这个两位数记作$\overline{ab}$;一个三位数的百位上的数为$x$,十位上的数为$y$,个位上的数为$z$,这个三位数记作$\overline{xyz}$.
(1)$(\overline{ab}+\overline{ba})$能被11整除吗? 请说明理由.
(2)小明发现:如果$(x + y + z)$能被3整除,那么$\overline{xyz}$就能被3整除.请补全小明的证明思路.
答案：2.
(1)$(\overline {ab}+\overline {ba})$能被 11 整除. 理由:一个两位数的十位上的数为 a,个位上的数为 b,则$\overline {ab}=10a+b,\overline {ba}=10b+a$,所以$\overline {ab}+\overline {ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)$,所以$(\overline {ab}+\overline {ba})$能被 11 整除.
(2) ①$100x+10y+z$ ②$(99x+9y)$ 解析:因为$\overline {xyz}=100x+10y+z=(99x+9y)+(x+y+z)$,代数式$(99x+9y),(x+y+z)$都能被 3 整除,所以$\overline {xyz}$能被 3 整除.
3. (2024·南昌期末)如图,正方形$ABCD和正方形ECGF的边长分别为a$和6,点$C$,$D$,$E$在一条直线上,点$B$,$C$,$G$在一条直线上,将依次连接点$D$,$E$,$F$,$B$,$D所围成的阴影部分的面积记为S_{阴影}$.
(1)试用含$a的代数式表示S_{阴影}$;
(2)当$a = 12$时,比较$S_{阴影}与\triangle BGF$面积的大小.
答案：3. (1) 由题意得$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}-S_{△ABD}-S_{△BFG}=a^{2}+6^{2}-\frac {1}{2}a^{2}-\frac {1}{2}×6(a+6)=a^{2}+36-\frac {1}{2}a^{2}-3a-18=\frac {1}{2}a^{2}-3a+18$.
(2) 当$a=12$时,$S_{阴影}=\frac {1}{2}×12^{2}-3×12+18=54,S_{△BCF}=\frac {1}{2}×6×(6+12)=54$,所以$S_{阴影}=S_{△BCF}$.
4. (2025·深圳期中)三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的长方形中,它们既不重叠也无空隙,记图①阴影部分周长之和为$m$,图②阴影部分周长为$n$,要求$m与n$的差,只需知道一个图形的周长,这个图形是______.(填①或②或③)
③
答案：4. ③ 解析:设正方形①的边长为 a,正方形②的边长为 b,正方形③的边长为 c,由题意,得$m=2[c+(a-c)]+2[b+(a+c-b)]=2c+2a-2c+2b+2a+2c-2b=4a+2c,n=2[(a+b-c)+(a+c-b)]=2a+2b-2c+2a+2c-2b=4a$,所以$m-n=4a+2c-4a=2c$,所以只需要知道正方形③的周长即可得到 m 与 n 的差,故答案为③.
解析：
设正方形①的边长为$a$，正方形②的边长为$b$，正方形③的边长为$c$。
对于图①阴影部分周长之和$m$：
$\begin{aligned}m&=2[c+(a - c)] + 2[b+(a + c - b)]\\&=2c + 2a - 2c + 2b + 2a + 2c - 2b\\&=4a + 2c\end{aligned}$
对于图②阴影部分周长$n$：
$\begin{aligned}n&=2[(a + b - c)+(a + c - b)]\\&=2a + 2b - 2c + 2a + 2c - 2b\\&=4a\end{aligned}$
则$m - n=(4a + 2c)-4a=2c$，所以只需知道正方形③的周长。
答案：③
