1. 观察下列等式：
①$1^{3}= 1^{2}$；②$1^{3}+2^{3}= 3^{2}$；③$1^{3}+2^{3}+3^{3}= 6^{2}$；④$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}= 10^{2}$……根据此规律,第10个等式的右边应该是$a^{2}$,则$a$的值是(
C
)
A.45
B.54
C.55
D.65
答案：C 解析:等式右边的数依次为 $1^{2},(1 + 2)^{2},(1 + 2 + 3)^{2},\cdots$，第 10 个等式的右边应该是 $(1 + 2 + 3+\cdots+10)^{2}=55^{2}$，所以 $a = 55$。故选 C。
2. (2025·常州期中)【提出问题】怎样比较$2024^{2025}与2025^{2024}$的大小？
【分析问题】为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较$n^{n+1}与(n+1)^{n}$的大小($n$是正整数),然后我们从分析$n = 1$,$n = 2$,$n = 3$……中发现规律,经归纳、猜想,得出结论。
【探究过程】
(1) 从简单的开始,比较下列各组中两数的大小(在横线上填写“＞”“＜”或“=”)：
①$1^{2}$
＜
$2^{1}$；②$2^{3}$
＜
$3^{2}$；③$3^{4}$
＞
$4^{3}$。
(2) 根据上面的结果,经过归纳,猜想$n^{n+1}与(n+1)^{n}$有怎样的大小关系？
【解决问题】
(3) 根据以上探究,我们可得结论(在横线上填写“＞”“＜”或“=”)：
$2024^{2025}$
＞
$2025^{2024}$。
视频讲题
链接7星
错题
答案：(1)①＜ ②＜ ③＞
(2)根据(1)的结果，经过归纳得当 $n ＜ 2$ 或 $n = 2$ 时，$n^{n + 1}＜(n + 1)^{n}$；当 $n = 3$ 或 $n ＞ 3$ 时，$n^{n + 1}＞(n + 1)^{n}$。
(3)＞ 解析:因为 $2024 ＞ 3$，所以 $2024^{2024 + 1}＞(2024 + 1)^{2024}$，即 $2024^{2025}＞2025^{2024}$。
3. 将正整数1,2,3,4,5,6,…,按如图数阵排列,用数对$(m,n)$表示该数阵中从上到下、从左到右第$m行第n$个数,如$(4,5)$表示14,则2024用数对表示为(
B
)
A.$(45,1)$
B.$(45,2)$
C.$(44,1)$
D.$(44,2)$
答案：B 解析:观察题图可知，每行的最大的数就是行数的平方，因为 $44^{2}＜2024＜45^{2}$，所以 2024 在第 45 行。又奇数行从右到左，从小到大，而偶数行从左到右，从小到大。因为 $44^{2}=1936$，$45^{2}=2025$，所以 2024 排在第 45 行从左到右第 2 个，则 2024 用数对表示为 $(45,2)$。故选 B。
4. (2024·绵阳模拟)如图,被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”。其规律是从第二行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和,图中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,15,…,我们把第一个数记为a_{1},第二个数记为a_{2},第三个数记为a_{3},…,第n个数记为a_{n},则a_{100}的值为(
C
)
A.100
B.199
C.5050
D.10000
答案：C 解析:由题意可得 $a_{1}=1$，$a_{2}=1 + 2 = 3$，$a_{3}=1 + 2 + 3 = 6$，$a_{4}=1 + 2 + 3 + 4 = 10$，$a_{5}=1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$，$\cdots$，所以 $a_{n}=1 + 2 + 3+\cdots+n=\frac{n(n + 1)}{2}$，所以当 $n = 100$ 时，$a_{100}=\frac{100×101}{2}=5050$。故选 C。
5. (2025·湖州期中)爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏
图,将1,-2,3,-4,5,-6,7,-8分别填入图中的圆圈内,使得横、竖以及内外两个正方形的4个数之和都相等,他已经将-4,5,7,-8这四个数填入了圆圈,则图中$a + b$的值为
-5 或 -8
。
答案：-5 或 -8 解析:因为这 8 个数的和是 -4，所以横、竖以及内外两个正方形的 4 个数之和都等于 -2，根据题意有 $-8 + 5 + b + 7 = -2$，所以 $b = -2 + 8 - 5 - 7 = -6$；根据内圈正方形的 4 个数之和等于 -2，得内圈右边的圆圈应填 3，则 $a = 1$ 或 -2，所以 $a + b = -5$ 或 -8。
解析：
解：这8个数的和为$1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6) + 7 + (-8) = -4$，因为横、竖以及内外两个正方形的4个数之和都相等，所以每个和为$-4÷2=-2$。
由竖列$-8 + 5 + b + 7 = -2$，解得$b=-2 - (-8 + 5 + 7)=-2 - 4=-6$。
内圈四个数之和为$-2$，已知内圈有$5$、$-4$、$b=-6$，设内圈右边的数为$x$，则$5 + (-4) + (-6) + x=-2$，解得$x=3$。
剩余的数为$1$、$-2$，所以$a$为$1$或$-2$。
当$a=1$时，$a + b=1 + (-6)=-5$；当$a=-2$时，$a + b=-2 + (-6)=-8$。
综上，$a + b$的值为$-5$或$-8$。
答案：$-5$或$-8$
