解：过点A作$AC ⊥ x$轴于点C，过点$A'$作$A'D ⊥ x$轴于点D。
已知点B坐标为$(1,0)，$点A坐标为$(5,2)，$
可得$AC=2，$$BC=5-1=4。$
由旋转的性质可知$BA=BA'，$$∠ ABA'=90°，$
$\therefore ∠ ABC + ∠ A'BD = 90°，$
又$\because ∠ A'BD + ∠ BA'D = 90°，$
$\therefore ∠ ABC = ∠ BA'D。$
在$△ ABC$和$△ BA'D$中：
$\begin{cases}∠ ACB = ∠ BDA' = 90° \\∠ ABC = ∠ BA'D \\BA = A'B\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BA'D$（AAS），
$\therefore BD = AC = 2，$$A'D = BC = 4。$
结合点B的横坐标为1，点$A'$在x轴下方，
可得点$A'$的横坐标为$1+2=3，$纵坐标为$-4，$
即点$A'$的坐标为$(3,-4)。$
