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第140页

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 解：$∠ ACB$是直角，理由如下：

 $\because CD⊥ AB，$

 $\therefore ∠ ADC=∠ BDC=90°。$

 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：

 $AC^2=AD^2+CD^2=2^2+3^2=13。$

 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，由勾股定理得：

 $BC^2=BD^2+CD^2=4.5^2+3^2=29.25。$

 又$\because AB=AD+BD=2+4.5=6.5，$

 $\therefore AB^2=6.5^2=42.25。$

 $\because AC^2+BC^2=13+29.25=42.25=AB^2，$

 $\therefore$ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°。$

解：连接​$AC$​
在​$Rt∆ABC$​中，​$∠B=90°，$​​$AB=24，$​​$BC=7$​
∴​$AC^2=AB^2+BC^2=24^2+7^2=625，$​​$AC=25$​
​$S_{△ABC}=\frac 12AB×BC=\frac 12×24×7=84$​
在​$∆ACD$​中，​$AD=20，$​​$CD=15，$​​$AC=25$​
∵​$15^2+20^2=225+400=625=25^2$​
∴​$∆ACD$​是直角三角形，​$S_{△ACD}=\frac 12AD×CD=\frac 12×20×15=150$​
∴四边形​$ABCD$​面积​$=S_{△ABC}+S_{△ACD}=84+150=234(\mathrm {m^2})$​

解：​$(1)\ \mathrm {A}E=BD，$​​$AE⊥AD，$​理由如下：
∵​$△ABC$​和​$△ECD$​都是等腰直角三角形
∴​$AC=BC，$​​$CD=CE$​
∵​$∠ACB=∠ECD=90°$​
∴​$∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD$​
∴​$△ACE≌△ BCD$​
∴​$AE=BD，$​​$∠CAE=∠CBD$​
∵​$△ABC$​是等腰直角三角形，​$∠ACB=90°$​
∴​$∠B=∠CAB=45°$​
∴​$∠CAE=∠CBD=45°$​
∴​$∠BAE=∠CAB+∠CAE=90°$​
∴​$AE⊥BD$​
​$(2) $​∵​$△ACE≌△ BCD$​
∴​$AE=BD=12，$​​$∠EAC=∠DBC$​
∴​$∠EAD+∠CAD=∠DBC+∠CAB=90°$​
∴​$∠EAD=90°$​
∴​$DE=\sqrt {AE^2+AD^2}=13$​

 解：

 (1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°，$$BC=4。$

 当$0< t≤ 3$时，$BQ = t，$

 $S=\dfrac{1}{2}· BQ· BC=\dfrac{1}{2}· t· 4=2t；$

 当$3< t≤ 5$时，点Q从点A沿AB返回，$BQ=6-t，$

 $S=\dfrac{1}{2}· BQ· BC=\dfrac{1}{2}· (6-t)· 4=12-2t。$

 (2) 连接$CQ，$

 $\because$ 直线$l$是线段$PQ$的垂直平分线且经过点$C，$

 $\therefore CP=CQ。$

 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°，$$AB=3，$$BC=4，$由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5。$

 ① 当$0< t≤ 3$时，$AP=t，$$CP=5-t，$$BQ=t，$

 在$Rt△ CBQ$中，$CQ^2=BQ^2+BC^2=t^2+4^2，$

 由$CP=CQ$得：$4^2+t^2=(5-t)^2，$

 解得$t=\dfrac{9}{10}，$符合$0< t≤ 3$的条件，

 此时$AQ=AB-BQ=3-\dfrac{9}{10}=\dfrac{21}{10}。$

 ② 当$3< t≤ 5$时，$BQ=6-t，$$CP=5-t，$

 在$Rt△ CBQ$中，$CQ^2=(6-t)^2+4^2，$

 由$CP=CQ$得：$4^2+(6-t)^2=(5-t)^2，$

 解得$t=13.5，$不符合$3< t≤ 5$的条件，该情况不成立。

 综上，$AQ$的长为$\dfrac{21}{10}。$