解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°，$$AB=20，$$BC=12，$由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$
(1) 当点$P$在$AC$上时，$PA = t，$则$PC = 16 - t。$
因为$PA=PB，$所以$PB = t。$
在$Rt△ PCB$中，由勾股定理得：
$PC^2 + BC^2 = PB^2$
代入得：
$(16-t)^2 + 12^2 = t^2$
展开整理：
$256 - 32t + t^2 + 144 = t^2$
$400 - 32t = 0$
解得：
$t=\dfrac{25}{2}$
(2) 当点$P$恰好在$∠ BAC$的平分线上时，过点$P$作$PD⊥ AB$于点$D。$
因为$AP$平分$∠ BAC，$$PC⊥ AC，$所以$PD=PC，$$AD=AC=16。$
则$BD = AB - AD = 20 - 16 = 4。$
点$P$的运动路程为$AC + CP = t，$因此$PC = t - 16，$$PD = t - 16，$$BP = BC - PC = 12 - (t - 16) = 28 - t。$
在$Rt△ PBD$中，由勾股定理得：
$PD^2 + BD^2 = BP^2$
代入得：
$(t-16)^2 + 4^2 = (28-t)^2$
展开整理：
$t^2 - 32t + 256 + 16 = t^2 - 56t + 784$
$24t = 512$
解得：
$t=\dfrac{64}{3}$
当点$P$运动到点$A$时也在$∠ BAC$的平分线上，此时$t=48，$不符合题意舍去，综上$t$的值为$\dfrac{64}{3}。$
