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第44页

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 解：(1)

 ∵AD 是高，E，F 分别是AB，AC 的中点，

 ∴$DE=AE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 10=5，$$DF=AF=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2} × 8=4，$

 ∴四边形 AEDF 的周长$=AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18。$

 (2) 证明：

 ∵$DE=AE，$$DF=AF，$

 ∴点E在AD的垂直平分线上，点F也在AD的垂直平分线上，

 ∴EF垂直平分AD。

证明：连接​$DE$​
∵​$AD$​是​$∆ABC$​的高线，​$E$​是​$AC$​的中点
∴在​$Rt∆ADC$​中，​$DE=\frac 12AC$​
∵​$BD=\frac 12AC，$​∴​$DE=BD$​
∴​$∆BDE$​是等腰三角形
∵​$F $​是​$BE$​的中点
∴​$DF⊥BE$​

$(1)$证明：∵$PM⊥OA，$∴$∠OMP=90°$

在$Rt∆OMP $中，$D$是$OP $的中点，∴$DM=\frac 12OP=DO$

∴$∠DMO=∠DOM，$∴$∠MDP=2∠MOP$

同理可知，$∠NDP=2∠NOP$

∴$∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON$

$(2)$解：$∠MDN=2∠MON，$理由如下：

∵$PM⊥OA，$∴$∠OMP=90°$

在$Rt∆OMP $中，$D$是$OP $的中点，∴$DM=\frac 12OP=DO$

∴$∠DMO=∠DOM，$∴$∠MDP=2∠MOP$

同理可知，$∠NDP=2∠NOP$

∴$∠MDN=∠NDP-∠MDP=2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON$