解：
(1) $△ BPE$与$△ CQP$全等，理由如下：
当运动1 s后，$BP=CQ=3\ \mathrm{cm}，$
$\therefore PC=BC-BP=8-3=5\ \mathrm{cm}。$
$\because E$为$AB$的中点，且$AB=10\ \mathrm{cm}，$
$\therefore BE=5\ \mathrm{cm}，$
$\therefore BE=PC。$
又$\because ∠ B=∠ C，$
$\therefore △ BPE ≌ △ CQP(\mathrm{SAS})。$
(2) $\because △ BPE$与$△ CQP$全等，
$\therefore$ 分两种情况：$△ BEP ≌ △ CQP$或$△ BEP ≌ △ CPQ。$
当$△ BEP ≌ △ CQP$时，$BP=CP，$$CQ=BE=5\ \mathrm{cm}。$
设点$P$运动的时间为$t\ \mathrm{s}，$则$3t=8-3t，$
解得$t=\dfrac{4}{3}，$
$\therefore$ 点$Q$的运动速度为$\dfrac{5}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}。$
当$△ BEP ≌ △ CPQ$时，由(1)可知$t=1\ \mathrm{s}，$此时$BP=CQ=3\ \mathrm{cm}，$
$\therefore$ 点$Q$的运动速度为$\dfrac{3}{1}=3\ \mathrm{cm/s}。$
综上，当点$Q$的速度为$\dfrac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$或$3\ \mathrm{cm/s}$时，$△ BPE$与$△ CQP$全等。
