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解：​$(1)$​由勾股定理可得
​$AB=\sqrt {1^2+5^2}=\sqrt {26}，$​​$BC=\sqrt {4^2+2^2}=\sqrt {20}$​
​$CD=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt 5，$​​$DA=\sqrt {1^2+4^2}=\sqrt {17}$​
​$C_{四边形ABCD}=AB + BC + CD + DA$​
​$=\sqrt {26}+\sqrt {20}+\sqrt 5+\sqrt {17}$​
​$(2)\triangle ABC$​不是直角三角形
理由：​$AC^2=3^2+5^2=34$​
∵​$AB^2=26，$​​$BC^2=20，$​​$AC^2=34$​
∴​$AB^2+BC^2≠AC^2$​
∴​$△ABC$​不是直角三角形

解：在$\triangle ABC$中，$∠ABC = 90°$，$AC = 10$，

$BC = 6$

∴$AB=\sqrt {AC^2-BC^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8$

过点$D$作$DE\perp AC$于点$E$

∵$CD$平分$∠ACB$，$∠ABC = 90°$，$DE\perp AC$

∴$DE = BD$

∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}$

∴$\frac 12\ \mathrm {AB}·BC=\frac 12\ \mathrm {AC}·DE+\frac 12BC·BD$

$=\frac 12BD· (AC+BC)$

$\frac 12×8×6=\frac 12×BD×(10+6)$

∴$BD=3$，∴$AD=AB-BD= 5$