解：
(1) 因为$a$的相反数是$-5，$所以$a=5。$
因为$|b|=7，$所以$b=7$或$b=-7。$
又因为$a+b<0，$当$b=7$时，$a+b=5+7=12>0，$不符合条件；当$b=-7$时，$a+b=5+(-7)=-2<0，$符合条件，因此$b=-7。$
由题意得$b+c=-10，$将$b=-7$代入得：
$c=-10 - b=-10 - (-7)=-3。$
综上，$a=5，$$b=-7，$$c=-3。$
(2) 将$a=5，$$b=-7，$$c=-3$代入$10-2^a-4b+c$：
$\begin{aligned}&原式\\=&10 - 2^5 -4×(-7) + (-3)\\=&10 - 32 + 28 - 3\\=&3\end{aligned}$
