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第118页

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 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

 解：

 (1) 因为点O在直线AB上，所以$∠ AOB=180°，$即$∠ AOC + ∠ BOC = 180°。$

 已知$∠ BOC=100°，$则$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 100° = 80°。$

 因为OM平分$∠ AOC，$所以$∠ AOM = \dfrac{1}{2}∠ AOC = \dfrac{1}{2} × 80° = 40°。$

 (2) 因为$ON ⊥ OM，$所以$∠ MON=90°。$

 可得$∠ AOM + ∠ BON = 180° - ∠ MON = 90°。$

 由(1)知$∠ AOM=40°，$所以$∠ BON = 90° - ∠ AOM = 90° - 40° = 50°。$

 解：

 (1) 因为直线AB与CD相交于点O，

 所以∠BOD = ∠AOC = 54°（对顶角相等）。

 因为OE平分∠BOD，

 所以∠BOE = $\dfrac{1}{2}$∠BOD = $\dfrac{1}{2} × 54° = 27°。$

 (2) 因为OE平分∠BOD，

 所以∠BOE = ∠DOE。

 设∠DOE = $x，$则∠BOE = $x，$∠DOF = $4∠DOE = 4x。$

 因为$OF ⊥ OE，$所以∠EOF = 90°，

 由∠DOF = ∠DOE + ∠EOF，得$4x = x + 90°，$

 解得$x = 30°，$

 所以∠BOE = 30°，

 所以∠BOF = ∠EOF - ∠BOE = $90° - 30° = 60°。$

 因为点O在直线AB上，∠AOF + ∠BOF = 180°，

 所以∠AOF = $180° - 60° = 120°。$

 答：(1) ∠BOE的度数为$27°；$(2) ∠AOF的度数为$120°。$

 解：

(1)

 ∵ 直线AB、CD相交于点O，

 ∴ ∠AOC + ∠COB = 180°，

 ∵ ∠AOC = 30°，

 ∴ ∠COB = 180° - 30° = 150°，

 ∵ OE平分∠COB，

 ∴ ∠COE = $\dfrac{1}{2}$∠COB = 75°，

 ∴ ∠AOE = ∠AOC + ∠COE = 30° + 75° = 105°。

 (2) 设∠EOF = x，

 ∵ ∠EOF与∠BOF度数之比为1:2，

 ∴ ∠BOF = 2x，

 ∴ ∠BOE = ∠EOF + ∠BOF = 3x，

 ∵ OE平分∠COB，

 ∴ ∠COE = ∠BOE = 3x，

 ∵ OF⊥CD，垂足为O，

 ∴ ∠COF = 90°，

又

 ∵ ∠COF = ∠COE + ∠EOF，

 ∴ 3x + x = 90°，

 解得x = 22.5°，

 即∠EOF = 22.5°。