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第114页

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 解：

(1)

 ∵ OE是$∠ AOD$的平分线，$∠ AOD=90°，$

 ∴ $∠ DOE = \dfrac{1}{2}∠ AOD = \dfrac{1}{2} × 90° = 45°。$

 ∵ OC是$∠ BOD$的平分线，$∠ BOD=40°，$

 ∴ $∠ DOC = \dfrac{1}{2}∠ BOD = \dfrac{1}{2} × 40° = 20°。$

 ∴ $∠ COE = ∠ DOE + ∠ DOC = 45° + 20° = 65°。$

(2)

 ∵ OE是$∠ AOD$的平分线，$∠ AOD=α，$

 ∴ $∠ DOE = \dfrac{1}{2}∠ AOD = \dfrac{1}{2}α。$

 ∵ OC是$∠ BOD$的平分线，$∠ BOD=β，$

 ∴ $∠ DOC = \dfrac{1}{2}∠ BOD = \dfrac{1}{2}β。$

 ∴ $∠ COE = ∠ DOE + ∠ DOC = \dfrac{1}{2}α + \dfrac{1}{2}β = \dfrac{1}{2}(α+β)。$

解：​$∠EOF=∠EOB，$​理由如下：
因为​$OD$​平分​$∠AOF，$​
所以​$∠AOD=∠DOF$​
因为​$∠AOD+∠EOB=∠DOF+∠EOF=90°$​
所以​$∠EOF=∠EOB$​
​$(2)$​设​$∠AOD=x，$​则​$∠DOF=x，$​​$∠EOF=2x$​
则​$3x=90°，$​​$x=30°$​
所以​$∠BOE=90°－30°=60°$​

 解：(1)

 ∵ OD平分∠AOC，∠AOC=40°

 ∴ ∠AOD = ∠COD = $\dfrac{1}{2}$∠AOC = 20°

 ∵ ∠EOD=90°

 ∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠EOD = 20°+90°=110°

 ∵ O为直线AB上的点，∠AOB=180°

 ∴ ∠BOE = 180° - ∠AOE = 180° - 110° = 70°

 ∵ ∠COE = ∠EOD - ∠COD = 90° - 20° =70°

 ∴ ∠COE = ∠BOE

 此时OE平分∠BOC。

 (2) 当∠AOC=50°时：

 ∵ OD平分∠AOC

 ∴ ∠AOD=∠COD=$\dfrac{1}{2}$×50°=25°

 ∵ ∠EOD=90°

 ∴ ∠COE=90° - ∠COD = 90° -25°=65°

 ∵ ∠BOE=180° - ∠AOD - ∠EOD = 180° -25° -90°=65°

 ∴ ∠COE=∠BOE，OE平分∠BOC。

 当∠AOC=60°时：

 ∵ OD平分∠AOC

 ∴ ∠AOD=∠COD=$\dfrac{1}{2}$×60°=30°

 ∵ ∠EOD=90°

 ∴ ∠COE=90° - ∠COD =90°-30°=60°

 ∵ ∠BOE=180° - ∠AOD - ∠EOD =180°-30°-90°=60°

 ∴ ∠COE=∠BOE，OE平分∠BOC。

 综上，当∠AOC=50°或60°时，OE仍平分∠BOC。