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 (1) 证明：

 ∵ $OC = OB，$

 ∴ $∠ BCO = ∠ B。$

又

 ∵ $∠ B = ∠ D，$

 ∴ $∠ BCO = ∠ D。$

 (2) 解：

 ∵ AB是⊙O的直径，且$CD ⊥ AB$于点E，

 ∴ $CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}。$

 设⊙O的半径为r，则$OC = r，$$OE = OA - AE = r - 2。$

 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC^2 = CE^2 + OE^2，$

 ∴ $r^2 = (2\sqrt{2})^2 + (r - 2)^2，$

 解得 $r = 3。$

 ∴ ⊙O的半径为3。

 (1) 解：在$△ AEB$和$△ DEC$中，

 ∵ $∠ A = ∠ D，$$AE = DE，$$∠ AEB = ∠ DEC，$

 ∴ $△ AEB ≌ △ DEC。$

 ∴ $BE = CE。$

又

 ∵ $BC = CE，$

 ∴ $BE = CE = BC。$

 ∴ $△ EBC$是等边三角形。

 ∴ $∠ ACB = 60°。$

 (2) 解：过点B作$BM ⊥ AC$于点M。

 ∵ $OF ⊥ AC，$

 ∴ $AF = CF。$

 ∵ $△ EBC$是等边三角形，

 ∴ $∠ GEF = ∠ BCM = 60°。$

 ∴ $∠ EGF = 30°。$

 ∵ $EG = 2，$

 ∴ $EF = 1。$

又

 ∵ $DE = AE = 3，$

 ∴ $CF = AF = AE + EF = 4。$

 ∴ $AC = 8，$$CE = 5。$

 ∴ $BC = 5。$

 ∵ $∠ BCM = 60°，$

 ∴ $∠ MBC = 30°。$

 ∴ $CM = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}。$

 易得 $BM = \frac{5\sqrt{3}}{2}。$

 ∴ $AM = AC - CM = \frac{11}{2}。$

 ∴ $AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = 7。$

 (1) 解：设⊙O的半径为r。

 ∵ $AB ⊥ CD，$

 ∴ $CE = DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 8 = 4。$

 在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$OE = OB - BE = r - 2，$$OD = r，$

 ∴ $OE^2 + DE^2 = OD^2，$即 $(r - 2)^2 + 4^2 = r^2，$

 解得 $r = 5。$

 ∴ ⊙O的半径为5。

 (2) 解：

 ∵ $OM = OB，$

 ∴ $∠ B = ∠ M。$

 ∴ $∠ DOB = ∠ B + ∠ M = 2∠ B。$

 ∵ $∠ DOE + ∠ D = 90°，$

 ∴ $2∠ B + ∠ D = 90°。$

 ∵ $∠ D = ∠ M，$

 ∴ $∠ B = ∠ D。$

 ∴ $2∠ D + ∠ D = 90°，$解得 $∠ D = 30°。$

 ∴ $∠ DOE = 60°。$

 易得 $∠ COD = 120°。$

 ∵ $AB = 10，$

 ∴ $OC = OD = 5。$

 ∴ $\overset{\frown}{CD}$的长为 $\frac{120π × 5}{180} = \frac{10}{3}π。$