(1) 证明：根据题意，设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)，$代入$y=\frac{k}{x}，$得$x_1· y_1=x_2· y_2=k，$
$\therefore S_{△ AOM}=\frac{1}{2}x_1· y_1=\frac{k}{2}，$$S_{△ BON}=\frac{1}{2}x_2· y_2=\frac{k}{2}，$
$\therefore S_{△ AOM}=S_{△ BON}。$
(2) 解：由题意，得$2m=2n=k，$即$m=n=\frac{k}{2}，$$\therefore A(2,\frac{k}{2}),B(\frac{k}{2},2)。$
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E，$过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F。$
$\because S_{△ AOB}+S_{△ BOF}=S_{\mathrm{梯形}AEFB}+S_{△ AOE}，$由
(1)易得$S_{△ BOF}=S_{△ AOE}，$
$\therefore S_{△ AOB}=S_{\mathrm{梯形}AEFB}=\frac{1}{2}·(2+\frac{k}{2})·(\frac{k}{2}-2)=16，$
解得$k=12$或$k=-12$（不合题意，舍去）。
$\therefore k=12。$
