解：
(1) 由题意，得抛物线过点$A(-4,0)，$$B(4,0)，$$D(-3,4)。$
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+4)(x-4)。$
把$D(-3,4)$代入，得$4=a(-3+4)×(-3-4)，$解得$a=-\frac{4}{7}。$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{4}{7}(x+4)(x-4)=-\frac{4}{7}x^2+\frac{64}{7}。$
(2) 令$x=0，$得$y=\frac{64}{7}，$即点$E$的坐标为$(0,\frac{64}{7})，$
∴门高$OE=\frac{64}{7}\ \mathrm{m}。$
