解：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，$△ DEF$是等腰直角三角形，
∴ $AB// CD，$
∴ $∠ ABE = ∠ F = 45° = ∠ E，$
∴ $AB = AE。$
设$AB = x\ \mathrm{cm}，$矩形$ABCD$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2。$
∵ $DE = 20\ \mathrm{cm}，$
∴ $AD = DE - AE = DE - AB = (20 - x)\ \mathrm{cm}，$
∴ $y = x(20 - x)，$
整理得：$y = -x^2 + 20x = -(x-10)^2 + 100\ (0<x<20)，$
∴ 当$x=10$时，$y$有最大值，最大值为100，
∴ 矩形$ABCD$的最大面积为$100\ \mathrm{cm}^2。$
