解：$(1) $设$\odot O$的半径为$R$，
则$OA=OE=R$。
$ $因为$DE$垂直平分$OA$，$DE=4\sqrt {3}$，
$ $所以$CE=\frac {1}{2}DE=2\sqrt {3}$，$∠ OCE=90°$，
$OC=\frac {1}{2}OA=\frac {1}{2}R$，
$ $所以$CE=\sqrt {OE^2-OC^2}=\frac {\sqrt {3}}{2}R$，
$ $所以$\frac {\sqrt {3}}{2}R=2\sqrt {3}$，
解得$R=4$。
$ $故$\odot O$的半径为$4$。
$ (2) $因为$∠ OCE=90°$，$∠ DPA=45°$，
$ $所以$∠ D=90°-∠ DPA=45°$，
$ $所以$∠ EOF=2∠ D=90°$。
$ $设该圆锥的底面圆半径为$r$，
由题意得：
$ π × r × 4 = \frac {90π × 4^2}{360}$，
$ $解得$r=1$。
$ $故该圆锥的底面圆半径为$1$。
