证明：$(1) $连接$BO$，延长$AO$交$⊙O$于点$D$。
$ $因为$PA$，$PB$是$⊙O$的切线，
所以$PA⊥ OA$，$PB⊥ OB$，
所以$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
$ $所以$∠ AOB+∠ P$
$=360°-∠ OAP-∠ OBP=180°$。
$ $又$∠ AOB+∠ BOD=180°$，
所以$∠ BOD=∠ P$。
$ $因为$∠ AOC=∠ P$，
所以$∠ AOC=∠ BOD$，
即$∠ COB+2∠ AOC=180°$。
$ $因为$OC=OB$，
所以$∠ CBO=∠ BCO$，
所以$∠ COB+2∠ BCO=180°$，
$ $所以$∠ AOC=∠ BCO$，
所以$BC// AO$。
$ (2) $延长$BC$交$PA$于点$E$，过点$O$作$OF⊥ BC$于
点$F$，
则$∠ OFC=90°$。
$ $因为$BC=10$，$CO=BO=AO=13$，
所以$BF=CF=\frac {1}{2}BC=5$，
$ $所以$FO=\sqrt {CO^2-CF^2}=12$。
$ $因为$∠ OAP=90°$，$BC// AO$，
所以$∠ AEF=180°-∠ OAP=90°$，
$∠ PEB=∠ OAP=90°$，
$ $所以四边形$AOFE$是矩形，
得$AE=FO=12$，$EF=AO=13$。
$ $因为$PA$，$PB$是$⊙O$的切线，
所以$PA=PB$。
$ $设$PA=PB=x$，
则$PE=PA-AE=x-12$。
$ $因为$BE=BF+EF=18$，$PB^2=PE^2+BE^2$，
$ $所以$x^2=(x-12)^2+18^2$，
解得$x=\frac {39}{2}$，
$ $所以$PA$的长为$\frac {39}{2}$。
