$ $证明$：(1) $连接$OD.$
$ $因为半圆$O$与$AB$相切于点$D$，
所以$OD⊥ AB$，
即$∠ ODB=90°.$
$ $在$Rt△ OBD$和$Rt△ OBC$中，
$ \begin {cases}\ \mathrm {OB}=OB \\OD=OC \end {cases}$
$ $所以$Rt△ OBD ≌ Rt△ OBC$，
因此$BD=BC.$
$ (2) $因为$OD⊥ AB$，
所以$∠ ODA=90°.$
$ $因为$OD=OC=1$，$∠ A=30°$，
所以$OA=2OD=2$，
$ $所以$AD=\sqrt {OA^2-OD^2}=\sqrt {3}.$
$ $因为$∠ ACB=90°$，
所以$∠ ABC=90°-∠ A=60°.$
$ $由$Rt△ OBD ≌ Rt△ OBC$，
得$∠ OBD=∠ OBC=\frac {1}{2}∠ ABC=30°$，
$ $所以$OB=2OD=2$，
因此$BD=\sqrt {OB^2-OD^2}=\sqrt {3}$，
$ $所以$AB=AD+BD=2\sqrt {3}.$
