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$45°$

$52°$

解：$(1) $四边形$OACB$是菱形，理由如下：

$ $连接$OC$。

$ $因为$C$是$\overset {\frown }{AB}$的中点，

所以$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{BC}$，

$ $所以$∠ AOC=∠ BOC=\frac {1}{2}∠ AOB$。

$ $因为$∠ AOB=120°$，

所以$∠ AOC=∠ BOC=60°$。

$ $又因为$OA=OC=OB$，

所以$△ AOC$和$△ BOC$都是等边三角形，

$ $所以$AC=OA=OB=BC$，

因此四边形$OACB$是菱形。

$ (2) $因为$AC=OA$，$AP=OA$，

所以$AC=AP$，

$ $所以$∠ P=∠ ACP$，

因此$∠ OAC=∠ ACP+∠ P=2∠ ACP$。

$ $因为$△ AOC$是等边三角形，

所以$∠ ACO=∠ OAC=60°$，

$ $所以$2∠ ACP=60°$，

即$∠ P=∠ ACP=30°$，

$ $所以$∠ OCP=∠ ACO+∠ ACP=90°$。

$ $因为$\odot O$的半径是$2$，

所以$OC=2$，$OP=2OA=4$，

$ $所以$PC=\sqrt {OP^2-OC^2}=2\sqrt {3}$。

$ C$

证明：$ (1) $连接$OC$。

$ $因为$C$是优弧$AB$的中点，

所以$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{BC}$，

$ $所以$∠ COD=∠ COE$。

$ $因为$OA=OB$，$AD=BE$，

所以$OA-AD=OB-BE$，即$OD=OE$。

$ $在$△ OCD$和$△ OCE$中，

$ \begin {cases}\ \mathrm {OC}=OC \\∠ COD=∠ COE \\OD=OE \end {cases}$

$ $所以$△ OCD ≌ △ OCE$，

因此$CD=CE$。

$ (2) $连接$OM$，$ON$。

$ $因为$△ OCD ≌ △ OCE$，

所以$∠ OCD=∠ OCE$，$∠ ODC=∠ OEC$。

$ $因为$OC=OM=ON$，

所以$∠ OCD=∠ OMD$，$∠ OCE=∠ ONE$，

$ $所以$∠ OMD=∠ ONE$。

$ $又因为$∠ ODC=∠ OMD+∠ MOD$，

$∠ OEC=∠ ONE+∠ NOE$，

$ $所以$∠ MOD=∠ NOE$，

因此$\overset {\frown }{AM}=\overset {\frown }{BN}$。