解：$ (1) $由题意，得$AP=4t\mathrm {cm}$，$CQ=t\mathrm {cm}$。
$ $因为四边形$ABCD$是矩形，
所以$AB=DC=14\ \mathrm {cm}$，$BC=AD=6\ \mathrm {cm}$，
$ $所以$BP=AB-AP=(14-4t)\mathrm {cm}$，
$ $所以$S_{梯形BCQP}=\frac {1}{2}(CQ+BP)· BC=(42-9t)\mathrm {cm}^2$。
$ $因为$4t≤14$，所以$t≤\frac {7}{2}$。
$ $因为$S_{矩形ABCD}=DC· AD=84\ \mathrm {cm}^2$，
$ $当$PQ $将矩形$ABCD$的面积分成$2：5$两部分时，
分类讨论如下：
$ ① $若$S_{梯形ADQP}：S_{梯形BCQP}=2：5$，
则$S_{梯形BCQP}=\frac {5}{7}S_{矩形ABCD}=60\ \mathrm {cm}^2$，
$ $所以$42-9t=60$，
解得$t=-2$，不合题意，舍去；
$ ② $若$S_{梯形BCQP}：S_{梯形ADQP}=2：5$，
则$S_{梯形BCQP}=\frac {2}{7}S_{矩形ABCD}=24\ \mathrm {cm}^2$，
$ $所以$42-9t=24$，
解得$t=2$。
综上所述，当$t $的值为$2$时，$PQ $将矩形$ABCD$的
面积分成$2：5$两部分。
$ (2) $过点$Q_{作}QE⊥ AB$于点$E$，
则$∠ BEQ=∠ PEQ=90°$。
$ $因为四边形$ABCD$是矩形，
所以$∠ B=∠ C=90°$，
$ $所以四边形$BCQE$是矩形，
所以$QE=BC=6\ \mathrm {cm}$，$BE=CQ=t\mathrm {cm}$。
$ $因为$BP=(14-4t)\mathrm {cm}$，
所以$PE=|BP-BE|=|14-5t|\mathrm {cm}$。
$ $因为$PE^2+QE^2=PQ^2$，$PQ=10\ \mathrm {cm}$，
$ $所以$|14-5t|^2+6^2=10^2$，
$ $解得$t_1=\frac {6}{5}$，$t_2=\frac {22}{5}($不合题意，舍去）。
$ $故当$t $的值为$\frac {6}{5}$时，$P，Q $两点之间的距离为$10\ \mathrm {cm}$。
