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第22页

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解：存在，推导如下：

$∵∠ ACB=90°，$$AB=10\ \mathrm{cm}，$$BC=8\ \mathrm{cm}，$

$∴AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=6\ \mathrm{cm}，$

$∴S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=24\ \mathrm{cm^2}。$

由题意得$AP=2t\ \mathrm{cm}，$$CQ=t\ \mathrm{cm}。$

$∵8÷1=8(\mathrm{s})，$

$∴0≤ t≤ 8。$

分类讨论：

① 当$0≤ t≤ 3$时，点$P$在线段$AC$上，

则$CP=AC-AP=(6-2t)\ \mathrm{cm}，$

$∴S_{△ PQC}=\frac{1}{2}CP· CQ=(-t^2+3t)\ \mathrm{cm^2}。$

当$S_{△ PQC}=\frac{1}{6}S_{△ ABC}$时，$-t^2+3t=\frac{1}{6}×24，$

整理得$t^2-3t+4=0，$该方程无实数解；

② 当$3＜ t≤ 8$时，点$P$在线段$AC$的延长线上，

则$CP=AP-AC=(2t-6)\ \mathrm{cm}，$

$∴S_{△ PQC}=\frac{1}{2}CP· CQ=(t^2-3t)\ \mathrm{cm^2}。$

当$S_{△ PQC}=\frac{1}{6}S_{△ ABC}$时，$t^2-3t=\frac{1}{6}×24，$

整理得$t^2-3t-4=0，$

解得$t_1=4，$$t_2=-1$（不合题意，舍去）。

综上所述，存在某一时刻，使得$△ PQC$的面积

是$△ ABC$面积的$\frac{1}{6}，$此时$t$的值为$4。$

$ D$

解：$ (1) $∵$AE=BF=x\mathrm {cm}$，折成的包装盒是

正方体，

∴正方体的棱长为$\sqrt {2}x\mathrm {cm}$，

∴$EF=2x\mathrm {cm}$，

∴$AB=AE+EF+BF=4x\mathrm {cm}$。

又∵$AB=24\ \mathrm {cm}$，

∴$4x=24$，解得$x=6$，

∴这个包装盒的棱长为$6\sqrt {2}\mathrm {cm}$，

∴包装盒的体积为$(6\sqrt {2})^3=432\sqrt {2} (\mathrm {cm}^3)$。

$ (2) $设包装盒的底面边长为$y\mathrm {cm}$，高为$h\mathrm {cm}$，

表面积$($不含下底面$)$为$S\mathrm {cm}^2$，

$ $则$y=\sqrt {2}x$，$h=\frac {\sqrt {2}}{2}(24-2x)=12\sqrt {2}-\sqrt {2}x$，

∴$S=y^2+4yh=2x^2 +4\sqrt {2}x(12\sqrt {2}-\sqrt {2}x)$

$= -6x^2 +96x$。

$ $当$S=384$时，$-6x^2+96x=384$，

$ $整理得$x^2-16x+64=0$，

$ $解得$x_1=x_2=8$，符合题意。

综上，$x$的值为$8$。