解：$ (1) $因为关于$x$的一元二次方程
$x^2-2(m+1)x+\mathrm {m^2}+5=0$有两个实数根，
所以判别式
$∆=[-2(m+1)]^2-4×1×(\mathrm {m^2}+5)\ge 0$，
$ $展开得$4\ \mathrm {m^2}+8m+4-4\ \mathrm {m^2}-20\ge 0$，
$ $即$8m-16\ge 0$，
$ $解得$m\ge 2$。
$ $故$m $的取值范围为$m\ge 2$。
$ (2) $当$m=3$时，原方程即为$x^2-8x+14=0$，
$ $由根与系数的关系得$x_1+x_2=8$，$x_1x_2=14$，
$ $所以$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
$=8^2-2×14=36$。
$ $因为$x_1，x_2$恰好是一个直角三角形的两条直角
边长，
所以该直角三角形的斜边长为
$\sqrt {x_1^2+x_2^2}=\sqrt {36}=6$。
$ (3) $由一元二次方程根与系数的关系，
得$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=\mathrm {m^2}+5$。
$ $又$x_1+x_2=\frac {2}{3}x_1x_2$，
$ $所以$2(m+1)=\frac {2}{3}(\mathrm {m^2}+5)$，
$ $整理得$\mathrm {m^2}-3m+2=0$，
$ $解得$m_1=1$，$m_2=2$。
$ $因为$m\ge 2$，
所以$m $的值为$2$。
