【分析】本题给出反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$，已知$y$的取值范围是$2＜y＜4$，要求$x$的取值范围。解题思路是利用反比例函数的性质：当$k＞0$时，第一象限内$y$随$x$的增大而减小；先将$y$的边界值代入函数求出对应$x$值，再结合单调性确定$x$的范围。
【解析】对于反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$，变形可得$x=\dfrac{4}{y}$。
因为$k=4＞0$，所以该函数在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
当$y=2$时，$x=\dfrac{4}{2}=2$；当$y=4$时，$x=\dfrac{4}{4}=1$。
由于$2＜y＜4$，结合$y$随$x$增大而减小的性质，可知对应的$x$的取值范围是$1＜x＜2$。
【答案】B
【知识点】反比例函数性质，自变量取值范围
【点评】本题考查反比例函数的基础性质，属于常规基础题，解题核心是利用反比例函数的单调性，通过边界值推导自变量范围，难度较低。
【难度系数】0.7
【分析】首先回忆反比例函数的图像与性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。本题中反比例函数为$y=\frac{m-4}{x}$，图象在第一、三象限，因此需满足比例系数$k=m-4＞0$，解不等式即可得到$m$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象所在象限由$k$的符号决定：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限。本题中函数为$y=\frac{m-4}{x}$，其图象在第一、三象限，故比例系数$m-4＞0$，解不等式得$m＞4$，对应选项为D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的图像性质
【点评】本题考查反比例函数的基本性质，属于基础题型，核心是掌握比例系数与图象象限的对应关系，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【分析】
要解决本题，需利用AB平行于x轴的性质确定A、B两点纵坐标相同，结合反比例函数表达式求出A、B的坐标，得到AB的长度；再求出直线OB的解析式，联立OB与$y=\frac{1}{x}$的方程得到点C的坐标；最后根据三点坐标，利用三角形面积公式计算$△ ABC$的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{1}{a})$（$a＞0$），因为$AB // x$轴，所以点B的纵坐标与点A相同，为$\frac{1}{a}$。
由于点B在$y=\frac{4}{x}$上，代入得$\frac{1}{a}=\frac{4}{x_B}$，解得$x_B=4a$，因此点B的坐标为$(4a, \frac{1}{a})$，则$AB$的长度为$4a - a = 3a$。
求直线OB的解析式：直线过原点$O(0,0)$和$B(4a, \frac{1}{a})$，斜率$k=\frac{\frac{1}{a}}{4a}=\frac{1}{4a^2}$，故直线OB的解析式为$y=\frac{1}{4a^2}x$。
联立直线OB与$y=\frac{1}{x}$的方程，求点C的坐标：
$\begin{cases}y=\frac{1}{4a^2}x \\ y=\frac{1}{x}\end{cases}$，代入得$\frac{1}{4a^2}x=\frac{1}{x}$，即$x^2=4a^2$，因为$x＞0$，所以$x=2a$，代入得$y=\frac{1}{2a}$，即点C的坐标为$(2a, \frac{1}{2a})$。
计算$△ ABC$的面积：AB为水平线段，长度为$3a$，点C到AB的垂直距离为两点纵坐标差的绝对值，即$\left|\frac{1}{a} - \frac{1}{2a}\right|=\frac{1}{2a}$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高}=\frac{1}{2} × 3a × \frac{1}{2a}=\frac{3}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数与一次函数的性质，考查坐标法求图形面积，核心是利用平行于坐标轴的点的坐标特征，逐步推导各点坐标，计算时消去参数简化过程，属于中等难度的数形结合题。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，需结合三角形中位线性质、中点坐标公式及反比例函数的性质。首先设点A的坐标，利用AB⊥y轴确定B点坐标；再根据OD是△ABC的中位线，得出O、D分别为BC、AC的中点，进而得到C、D的坐标；最后结合△OCD的面积建立等式，结合反比例函数解析式求出k的值，同时注意点A所在象限对k符号的影响。
【解析】
设点A的坐标为$(a, b)$，
∵ $AB ⊥ y$轴，
∴ 点B的坐标为$(0, b)$，且$AB // x$轴。
∵ OD是$△ABC$的中位线，
∴ O是BC的中点，D是AC的中点，
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$，
可得：点C的坐标为$(0, -b)$，点D的坐标为$(\dfrac{a}{2}, 0)$。
∵ $△OCD$为直角三角形，直角在原点O，其面积为3，
∴ $S_{△OCD} = \dfrac{1}{2} × OC × OD = 3$，
其中$OC = |b|$，$OD = \left|\dfrac{a}{2}\right|$，代入得：
$\dfrac{1}{2} × |b| × \left|\dfrac{a}{2}\right| = 3$，
化简得：$\dfrac{|ab|}{4} = 3$，即$|ab| = 12$。
∵ 点A在第二象限，
∴ $a ＜ 0$，$b ＞ 0$，则$ab ＜ 0$，
又
∵ 点A在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$上，
∴ $k = ab = -12$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质、三角形中位线、坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心是利用中位线性质确定各点坐标，结合面积公式建立关系，需注意反比例函数中k的符号由点所在象限决定，难度适中。
【难度系数】
0.5
【分析】
首先，根据点A、B的横坐标$x_1＞0$，可知两点都在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的$x＞0$分支上；将两点坐标代入反比例函数解析式，结合$y_1＜y_2$的条件，转化为关于$k$的不等式，利用不等式性质求解，或结合反比例函数同一象限的增减性判断$k$的符号。
【解析】
因为点$A(x_1,y_1)$、$B(x_1+1,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，所以：
$y_1=\dfrac{k}{x_1}$，$y_2=\dfrac{k}{x_1+1}$
已知当$x_1＞0$时，$y_1＜y_2$，代入得：
$\dfrac{k}{x_1}＜\dfrac{k}{x_1+1}$
由于$x_1＞0$，则$x_1+1＞x_1＞0$，即$x_1(x_1+1)＞0$，不等式两边同时乘正数$x_1(x_1+1)$，不等号方向不变，得：
$k(x_1+1)＜kx_1$
展开左边：$kx_1 +k ＜kx_1$
两边同时减去$kx_1$，得：$k＜0$
【答案】
$k＜0$
【知识点】
反比例函数的性质，不等式的性质
【点评】
本题考查反比例函数的性质及不等式的应用，代数代入转化为不等式求解是直接方法，也可利用反比例函数同一象限的增减性快速判断，属于基础题型，需掌握反比例函数符号与增减性的对应关系。
【难度系数】
0.5
【分析】首先利用交点坐标求出一次函数和反比例函数的解析式，再联立方程得到两函数的另一个交点；接着通过数形结合，观察两个函数的图像，确定反比例函数值小于一次函数值时对应的x的取值范围。
【解析】解：将交点$M(-3,2)$分别代入两个函数解析式：
1. 代入一次函数$y=k_1x$，得$2=-3k_1$，解得$k_1=-\dfrac{2}{3}$，故一次函数为$y=-\dfrac{2}{3}x$；
2. 代入反比例函数$y=\dfrac{k_2}{x}$，得$2=\dfrac{k_2}{-3}$，解得$k_2=-6$，故反比例函数为$y=-\dfrac{6}{x}$；
联立两函数解析式求另一个交点：
令$\dfrac{-6}{x}=-\dfrac{2}{3}x$，两边同乘$3x$（$x≠0$）得：$-18=-2x^2$，即$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$，故两函数另一个交点为$(3,-2)$；
观察函数图像：一次函数$y=-\dfrac{2}{3}x$和反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$均过二、四象限；
当$x＜0$时，在交点$M(-3,2)$左侧，一次函数图像在反比例函数上方，满足$\dfrac{k_2}{x}＜k_1x$；
当$x＞0$时，在交点$(3,-2)$左侧，反比例函数图像在一次函数下方，满足$\dfrac{k_2}{x}＜k_1x$；
因此，$x$的取值范围是$x＜-3$或$0＜x＜3$。
【答案】$x＜−3或0＜x＜3$
【知识点】一次函数与反比例函数的交点、不等式的解集
【点评】本题考查利用函数图像解不等式，核心是数形结合思想的应用，先确定函数解析式与交点，再通过图像直观判断不等式的解集，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.3
【分析】
要解决本题，需结合等边三角形和菱形的性质确定点C的坐标，再利用三角形面积公式求出参数，最后代入反比例函数求k。首先，等边三角形AOB的三边相等、内角为60°，可确定各点坐标；菱形OBCD的对边平行且四边相等，可知BC平行于x轴，进而得到点C的坐标；再根据△ABC的面积建立方程求出边长，最后代入反比例函数解析式计算k。
【解析】
设等边三角形AOB的边长为$a$，则$OA=OB=AB=a$，$∠ AOB=60°$。
由此可得各点坐标：$A(-a,0)$，$O(0,0)$，$B(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
因为四边形OBCD是菱形，所以$BC=OB=a$，且$BC// OD$（即$BC// x$轴），因此点$C$的横坐标为$-\frac{a}{2}+a=\frac{a}{2}$，纵坐标与$B$相同，即$C(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
在$△ ABC$中，$BC$为底，长度为$a$，高为点$B$（或$C$）的纵坐标$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$。
已知$S_{△ ABC}=4\sqrt{3}$，则：
$\frac{\sqrt{3}a^2}{4}=4\sqrt{3}$，两边同除以$\sqrt{3}$得$\frac{a^2}{4}=4$，解得$a^2=16$，即$a=4$（边长为正）。
所以点$C$的坐标为$(\frac{4}{2},\frac{\sqrt{3}×4}{2})=(2,2\sqrt{3})$。
因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点$C$，代入得$k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
反比例函数性质、等边三角形性质、菱形性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系，利用等边三角形和菱形的性质确定点的坐标，再通过三角形面积建立方程求解，关键是找到点C的坐标与等边三角形边长的关系，属于几何与函数结合的中等难度题。
【难度系数】
0.5
【分析】要解决本题，首先需确定双曲线的解析式，核心是处理射线AB绕点A旋转45°后的直线AC的解析式。利用旋转45°的性质构造等腰直角三角形，通过作辅助线得到全等三角形，求出直线AC上的点F的坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解交点，排除点A即可得到点C的坐标。
【解析】1. 求双曲线解析式：因为双曲线$ y=\dfrac{k}{x} $经过点$ A(2,3) $，代入得$ k=2×3=6 $，故双曲线解析式为$ y=\dfrac{6}{x} $。
2. 处理旋转角：射线AB绕点A逆时针旋转45°，则$ ∠ BAC=45° $。过点B作$ BF ⊥ AC $于点F，易知$ △ ABF $为等腰直角三角形，故$ AF=BF $。
3. 构造全等三角形：过点F作$ FD ⊥ y $轴于点D，过点A作$ AE ⊥ DF $，交DF的延长线于点E。易证$ △ AEF ≌ △ FDB $（AAS），因此$ EF=DB $，$ AE=FD $。
4. 求点F坐标：设$ BD=a $，则$ EF=a $。已知$ A(2,3) $，$ B(0,2) $，则$ OD=OB - BD=2 - a $，且$ AE + OD=3 $（点A的纵坐标），即$ (2 - a)+(2 - a)=3 $，解得$ a=\dfrac{1}{2} $。因此$ FD=\dfrac{3}{2} $，$ OD=\dfrac{3}{2} $，故$ F( \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2} ) $。
5. 求直线AC解析式：设直线AF（即AC）的解析式为$ y=k_1x + b $，代入$ A(2,3) $和$ F( \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2} ) $，解得$ k_1=3 $，$ b=-3 $，故直线AC解析式为$ y=3x - 3 $。
6. 联立求交点：联立$ \begin{cases} y=3x - 3 \\ y=\dfrac{6}{x} \end{cases} $，消去y得$ x^2 - x - 2=0 $，解得$ x=2 $（对应点A，舍去）或$ x=-1 $，代入得$ y=-6 $，故点C坐标为$ (-1,-6) $。
【答案】(-1,-6)
【知识点】反比例函数、一次函数解析式、旋转性质、全等三角形
【点评】本题综合反比例函数与几何旋转、全等三角形，利用旋转构造等腰直角三角形和全等转化线段是关键，体现数形结合思想，对学生几何分析与代数运算能力要求较高。
【难度系数】0.5
【分析】首先，根据排水问题的基本数量关系：总存水量=排水量×排水时间，可建立t与a的函数关系；再结合已知的t的取值范围，利用反比例函数的单调性求出a的取值范围；第二问直接将给定的排水量代入函数解析式，计算对应的排水时间即可。
【解析】(1) 由题意，总存水量为20 m³，排水量为a m³/min，排水时间为t min，因此有$a · t = 20$，变形得函数解析式为$t = \dfrac{20}{a}$。已知$5 ≤ t ≤ 10$，将$t=5$代入解析式得$a = \dfrac{20}{5}=4$；将$t=10$代入得$a = \dfrac{20}{10}=2$。由于反比例函数$t = \dfrac{20}{a}$中，t随a的增大而减小，因此当$5 ≤ t ≤10$时，a的取值范围是$2 ≤ a ≤4$。
(2) 当排水量$a=2.5\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$时，将$a=2.5$代入$t = \dfrac{20}{a}$，得$t = \dfrac{20}{2.5}=8$，即排完雨水需要8 min。
【答案】(1) $t$与$a$的函数解析式为$t=\dfrac{20}{a}$，$a$的取值范围是$2≤ a≤ 4$；(2) 将雨水全部排完需要$8\ \mathrm{min}$
【知识点】反比例函数的应用，反比例函数的性质，代数式求值
【点评】本题是反比例函数在实际生活中的基础应用，核心是根据实际问题建立函数关系，再利用反比例函数的单调性确定参数范围，步骤清晰，属于学生必须掌握的基础题型。
【难度系数】0.7
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