第127页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

$60°$

 解：$\because$ 四边形ABCD为正方形，

 $\therefore ∠ ABC=∠ BCD=∠ D=90°。$

 $\because BC$为半圆O的直径，

 $\therefore AB，$CD均与半圆O相切。

 $\because AE$与半圆O相切，$AB=4，$

 $\therefore AF=AB=4，$$CE=EF。$

 设$FE=x，$则$EC=EF=x，$$DE=4-x，$$AE=4+x。$

 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：

 $(4+x)^2=4^2+(4-x)^2，$

 解得$x=1。$

 $\therefore AE=AF+EF=4+1=5。$

3

 证明：

 (1) $\because$ 点E是$△ ABC$的内心，

 $\therefore ∠ BAE=∠ CAE，$$∠ EBA=∠ EBC。$

 $\because ∠ BED=∠ BAE + ∠ EBA，$$∠ DBE=∠ EBC + ∠ DBC，$

 又$\because ∠ DBC=∠ CAE，$

 $\therefore ∠ DBE=∠ DEB，$

 $\therefore DB=DE。$

 (2) 连接CD。

由

 (1)知$∠ DAB=∠ DAC，$

 $\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}，$

 $\therefore BD=CD。$

 $\because BD=DF，$

 $\therefore CD=DB=DF，$

 $\therefore ∠ DBC=∠ DCB，$$∠ F=∠ DCF，$

 $\therefore 2∠ DBC + 2∠ F=180°，$

 $\therefore ∠ DBC + ∠ F=90°，$

 $\therefore ∠ BCF=90°，$即$BC⊥ CF。$

 $\because OC$为$\odot O$的半径，

 $\therefore$ 直线CF是$\odot O$的切线。

B

 证明：$\because$ 五边形ABCDE是正五边形，

 $\therefore AB=BC=AE=ED=CD，$

 $∠ AED=∠ EDC=180°-\frac{360°}{5}=108°。$

 $\therefore ∠ EAD=∠ EDA=∠ DEC=∠ DCE=\frac{1}{2}(180°-108°)=36°。$

 $\therefore ∠ AFE=∠ EDA + ∠ DEC=72°，$

 $∠ AEF=108°-36°=72°，$

 $\therefore ∠ AEF=∠ AFE，$

 $\therefore AE=AF。$

 同理可得$CF=CD。$

 $\therefore AB=BC=CF=AF，$

 $\therefore$ 四边形ABCF是菱形。

【分析】要解决该问题，需利用圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。首先确定点P在圆外，过P作两条切线，连接圆心与切点、圆心与点P，构造直角三角形，通过直角三角形的边的关系求出切线与圆心连线的夹角，进而得到两条切线的夹角。
【解析】设过点P作$\odot O$的两条切线，切点分别为A、B，连接OA、OP。
因为PA是$\odot O$的切线，根据切线的性质，得$OA ⊥ PA$，即$△ OAP$为直角三角形。
已知$\odot O$的半径$OA=3\ \mathrm{cm}$，点P到圆心O的距离$OP=6\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$\sin∠ APO = \frac{OA}{OP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，所以$∠ APO = 30°$。
同理，连接OB，可得$∠ BPO = 30°$。
因此，两条切线的夹角$∠ APB = ∠ APO + ∠ BPO = 30° + 30° = 60°$。
【答案】$60°$
【知识点】圆的切线性质，直角三角形的边角关系
【点评】本题考查圆的切线性质的基础应用，解题核心是构造直角三角形求解角度，属于初中几何的常规基础题，难度适中。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决这个问题，需利用切线长定理转化相等线段，结合正方形的边长，通过设未知数，借助勾股定理建立方程求解。首先明确正方形的边与半圆的切线关系，再应用切线长定理得到线段等量关系，最后在直角三角形中用勾股定理列方程计算。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4。
又
∵ BC为半圆O的直径，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴ AB、CD均与半圆O相切（切线判定：垂直于半径外端的直线是圆的切线）。
∵ AE是半圆O的切线，切点为F，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴ AF=AB=4，CE=EF。
设CE=x，则EF=x，DE=CD - CE=4 - x，AE=AF + EF=4 + x。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE²=AD² + DE²，
代入得：(4 + x)²=4² + (4 - x)²，
展开左边：16 + 8x + x²，右边：16 + 16 - 8x + x²，
化简得：8x=16 - 8x，解得x=1。
∴ AE=4 + x=4 + 1=5。
【答案】
5
【知识点】
切线长定理、勾股定理、正方形性质
【点评】
本题结合正方形与半圆，利用切线长定理转化线段长度，通过方程思想结合勾股定理求解线段长，是几何计算的典型题型，需掌握切线长定理的应用和方程思想的运用。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决该问题，需按以下思路推导：①先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长；②计算直角三角形的面积；③运用三角形内切圆半径公式（任意三角形内切圆半径$ r=\frac{2S}{a+b+c} $，其中$ S $为三角形面积，$ a,b,c $为三边长），代入数值计算内切圆半径。
【解析】
已知直角三角形的短直角边（勾）$ a=8 $步，长直角边（股）$ b=15 $步：
1. 求斜边长度：根据勾股定理，斜边$ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17 $步；
2. 计算三角形面积：直角三角形面积$ S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8×15=60 $平方步；
3. 求内切圆半径：代入内切圆半径公式$ r=\frac{2S}{a+b+c} $，得$ r=\frac{2×60}{8+15+17}=\frac{120}{40}=3 $步。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；直角三角形内切圆半径计算
【点评】
本题将古代数学问题转化为直角三角形内切圆半径计算，核心考查勾股定理和三角形内切圆半径公式的应用，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明(1) $DB=DE$，需利用三角形内心的角平分线性质，结合三角形外角定理推导角相等；证明(2) 直线$CF$为$\odot O$的切线，需连接$CD$，利用弧与弦的关系、等腰三角形性质及切线判定定理，推导$BC ⊥ CF$即可完成证明。
【解析】
(1) $\because$ 点$E$是$△ ABC$的内心，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAE$，$∠ EBA = ∠ EBC$。
$\because ∠ BED$是$△ ABE$的外角，
$\therefore ∠ BED = ∠ BAE + ∠ EBA$。
又$\because ∠ DBE = ∠ EBC + ∠ DBC$，且$∠ DBC = ∠ CAE$（同弧$DC$所对的圆周角相等），
$\therefore ∠ DBE = ∠ EBC + ∠ CAE = ∠ EBC + ∠ BAE = ∠ BED$。
$\therefore DB = DE$（等角对等边）。
(2) 连接$CD$。
$\because AD$平分$∠ BAC$（内心性质，$∠ BAE = ∠ CAE$），
$\therefore \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$，故$BD = CD$。
又$\because BD = DF$，
$\therefore CD = DF = BD$，即$△ CDB$和$△ CDF$均为等腰三角形，
$\therefore ∠ DBC = ∠ DCB$，$∠ F = ∠ DCF$。
在$△ BCF$中，$∠ DBC + ∠ DCB + ∠ DCF + ∠ F = 180°$，
代入得：$2∠ DCB + 2∠ DCF = 180°$，化简得$∠ DCB + ∠ DCF = 90°$，即$∠ BCF = 90°$，
$\therefore BC ⊥ CF$。
又$\because BC$是$\odot O$的直径，$OC$是半径，
$\therefore$ 直线$CF$为$\odot O$的切线（切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。
【答案】
(1) 证明成立，$DB=DE$；
(2) 证明成立，直线$CF$为$\odot O$的切线。

【知识点】
三角形内心性质、圆周角定理、切线的判定
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形内心的特点，需熟练运用角平分线、圆周角、等腰三角形及切线判定的知识，逻辑推导清晰，是圆与三角形结合的典型题型，能有效考查学生的几何综合能力。
【难度系数】
0.6

【分析】要解决该问题，需先明确正多边形的中心角和每个内角的计算公式，再推导两者的关系：首先确定正n边形的中心角公式，再推导正n边形单个内角的公式，最后计算两者的和，判断角度关系。
【解析】设该正多边形为正n边形：
1. 正n边形的中心角 = $\frac{360°}{n}$；
2. 正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，因此单个内角 = $\frac{(n-2)×180°}{n}$；
3. 计算两者之和：
$\frac{360°}{n} + \frac{(n-2)×180°}{n} = \frac{360° + 180° n - 360°}{n} = \frac{180° n}{n} = 180°$；
两个角的和为$180°$，说明二者互补，因此选B。
【答案】B
【知识点】正多边形的中心角，正多边形的内角
【点评】本题考查正多边形的中心角与内角的关系，核心是掌握正多边形中心角和内角的计算公式，通过代数运算即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】0.6

【分析】要证明四边形ABCF是菱形，根据菱形的判定定理，需证明四边形的四条边相等。首先利用正五边形的性质：各边相等，每个内角为108°，计算相关角的度数，结合等腰三角形的性质，推导出AF=AB，CF=BC，进而得到AB=BC=CF=AF，即可完成证明。
【解析】
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ AB=BC=AE=ED=CD，每个内角∠AED=∠EDC=(5-2)×180°÷5=108°。
在△AED中，AE=ED，∠AED=108°，
∴ ∠EAD=∠EDA=(180°-108°)÷2=36°。
同理，在△EDC中，∠DEC=∠DCE=36°。
∴ ∠AEF=∠AED - ∠DEC=108°-36°=72°，
∠AFE=∠EDA + ∠DEC=36°+36°=72°。
∴ ∠AEF=∠AFE，故AE=AF。
又
∵ AE=AB，
∴ AF=AB。
同理，CF=CD=BC，
∴ CF=BC。
综上，AB=BC=CF=AF，
∴ 四边形ABCF是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】
证明：
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ AB=BC=AE=ED=CD，∠AED=∠EDC=(180°−360°/5)=108°，
∴ ∠EAD=∠EDA=∠DEC=∠DCE=(1/2)(180°−108°)=36°，
∴ ∠AEF=108°−36°=72°，∠AFE=36°+36°=72°，
∴ ∠AEF=∠AFE，故AE=AF，同理可得CF=CD，
∴ AB=BC=CF=AF，
∴ 四边形ABCF是菱形。
【知识点】
正五边形的性质、菱形的判定
【点评】
本题结合正五边形的内角与边的性质，通过角度计算推导等腰三角形，进而证明四边形四条边相等，考查了正多边形性质和菱形判定的综合应用，需熟练掌握角度计算和等腰三角形的性质。
【难度系数】
0.5