第118页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

D

$125°$

4

3

6

 解：解法一：如图，连接$OA，$$OB，$$OE。$

 ∵ $PA，$$PB，$$CD$分别切$\odot O$于点$A，$$B，$$E，$

 ∴ $∠ PAO=∠ PBO=90°，$易得$∠ AOC=∠ EOC。$

 同理，易得$∠ BOD=∠ DOE，$

 ∴ $∠ COD=∠ COE+∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOB。$

 ∵ $∠ APB=54°，$$∠ PAO=∠ PBO=90°，$

 ∴ $∠ AOB=126°，$

 ∴ $∠ COD=63°。$

 解法二：

 ∵ $∠ P=54°，$

 ∴ $∠ PCD+∠ PDC=180°-54°=126°，$

 ∴ $∠ ACD+∠ BDC=360°-(∠ PCD+∠ PDC)=360°-126°=234°。$

 由切线长定理知，$∠ DCO=∠ ACO，$$∠ CDO=∠ BDO，$

 ∴ $∠ DCO+∠ CDO=\frac{234°}{2}=117°，$

 ∴ $∠ COD=180°-117°=63°。$

C

【分析】首先，根据圆外切四边形的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，可推出OD平分∠ADC，OC平分∠BCD；再结合梯形中AD//BC的性质，同旁内角互补，得到∠ADC与∠BCD的和为180°，进而推导△DOC中两个底角的和，最终求出∠DOC的度数。
【解析】
∵ABCD是⊙O的外切梯形，
∴AD、DC是⊙O的切线，DC、BC是⊙O的切线。根据切线长定理，OD平分∠ADC，OC平分∠BCD，即∠ODC = ½∠ADC，∠OCD = ½∠BCD。
又
∵AD//BC，
∴∠ADC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠ODC + ∠OCD = ½(∠ADC + ∠BCD) = ½×180° = 90°。
在△DOC中，根据三角形内角和为180°，可得∠DOC = 180° - (∠ODC + ∠OCD) = 180° - 90° = 90°。
【答案】B
【知识点】切线长定理、平行线的性质、三角形内角和
【点评】本题结合圆外切梯形的性质，利用切线长定理推导角平分线，再结合平行线的同旁内角互补，通过三角形内角和求出目标角度，属于基础几何题，核心是掌握切线长定理的应用。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决本题，需利用切线长定理进行线段转化。首先，PA、PB是⊙O的两条切线，根据切线长定理可得PA=PB；其次，FG也是⊙O的切线，从点F引向圆的两条切线FA与FE长度相等，从点G引向圆的两条切线GB与GE长度相等。通过这些相等关系，可将△PFG的周长转化为PA与PB的和，进而求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴根据切线长定理，得PA = PB = 5 cm。
又
∵FG与⊙O相切于点E，
∴根据切线长定理，得FA = FE，GB = GE。
△PFG的周长为：
$C_{△ PFG} = PF + FG + PG$
$= PF + (FE + EG) + PG$
$= PF + FA + GB + PG$
$= (PF + FA) + (PG + GB)$
$= PA + PB$
$= 5 + 5 = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题考查切线长定理的基本应用，核心是利用切线长相等的性质，将三角形周长转化为已知线段的和，属于基础几何题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算∠ACB的度数，需结合切线性质、四边形内角和与圆周角定理逐步推导：首先利用切线性质得到OA⊥PA、OB⊥PB，再通过四边形内角和求出圆心角∠AOB，接着确定∠ACB所对的弧为优弧AB，最后根据圆周角定理计算出∠ACB的度数。
【解析】
1. 根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以∠OAP=∠OBP=90°。
2. 在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=70°，则圆心角∠AOB=360°−∠OAP−∠OBP−∠P=360°−90°−90°−70°=110°。
3. 弧AB对应的圆心角为110°，因此优弧AB的度数为360°−110°=250°。
4. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠ACB是优弧AB所对的圆周角，所以∠ACB=1/2×250°=125°。
【答案】
125°
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、四边形内角和
【点评】
本题综合考查切线性质与圆周角定理的应用，关键在于明确∠ACB所对的弧是优弧AB，需注意区分圆周角与圆心角所对应弧的关系，避免因弧的判断错误导致结果出错，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用切线长定理结合正方形的边长性质推导。首先设正方形边长为$a$，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得$AE=EF$、$BC=CF$；再结合$△ CDE$的周长，将各边用边长$a$和$ED$表示，化简后即可求出正方形边长。
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为$a$。
因为$CE$切半圆$O$于点$F$，$AE$切半圆$O$于点$A$，$CB$切半圆$O$于点$B$，根据切线长定理，得：
$AE = EF$，$BC = CF$。
在正方形$ABCD$中，$CD = AD = BC = a$，因此：
$CE = EF + CF = AE + BC = (AD - ED) + BC = (a - ED) + a = 2a - ED$。
$△ CDE$的周长为：
$DE + CD + CE = DE + a + (2a - ED) = 3a$。
已知$△ CDE$的周长为$12$，则$3a = 12$，解得$a = 4$。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理、正方形性质
【点评】
本题结合切线长定理与正方形性质，核心是利用切线长相等简化$△ CDE$的周长表达式，进而快速求解边长，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5

【分析】本题需结合圆的切线性质、切线长定理和勾股定理求解。首先连接圆心与切点的半径OD，利用切线性质得到直角三角形AOD，通过勾股定理求出⊙O的半径；再根据切线长定理得到CD=CB，设CD为未知数，在直角三角形ABC中再次用勾股定理求解CD的长度。
【解析】连接OD。
∵AC是⊙O的切线，
∴OD⊥AC，即∠ADO=90°。
设⊙O的半径为$ r\ \mathrm{cm} $，则$ OD=OB=r $，$ OA=OE + AE=r + 2 $。
在$\mathrm{Rt}△AOD$中，由勾股定理得：$ r^2 + 4^2=(r + 2)^2 $，
展开得：$ r^2 +16=r^2 +4r +4 $，
化简得：$ 4r=12 $，解得$ r=3 $，即⊙O的半径为$ 3\ \mathrm{cm} $。
∵$ ∠ABC=90° $，OB是⊙O的半径，
∴BC⊥OB，即BC是⊙O的切线。
又
∵CD是⊙O的切线，根据切线长定理，得$ CD=CB $。
设$ CD=CB=x\ \mathrm{cm} $，则$ AC=(x +4)\mathrm{cm} $。
AB的长度为：$ OB + OE + AE=3 +3 +2=8\ \mathrm{cm} $。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：$ x^2 +8^2=(x +4)^2 $，
展开得：$ x^2 +64=x^2 +8x +16 $，
化简得：$ 8x=48 $，解得$ x=6 $，即CD的长为$ 6\ \mathrm{cm} $。
【答案】3；6
【知识点】切线的性质；勾股定理；切线长定理
【点评】本题综合考查圆的相关性质与勾股定理的应用，解题关键是利用切线性质构造直角三角形，通过设未知数列方程求解，需熟练掌握切线的性质和切线长定理。
【难度系数】0.5

【分析】
本题是圆的切线相关角度计算问题，可通过两种思路求解：思路一：连接OA、OB、OE，利用切线垂直于过切点的半径的性质得到直角，结合四边形内角和算出∠AOB，再根据切线长定理，OC平分∠AOE，OD平分∠BOE，从而得到∠COD与∠AOB的关系，进而求出∠COD；思路二：先利用三角形内角和算出△PCD中两个内角的和，再结合平角性质得到∠ACD与∠BDC的和，再由切线长定理得OC、OD分别平分这两个角，最后利用三角形内角和求出∠COD。
【解析】
解法一：如图，连接OA、OB、OE。
∵PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，
∴∠PAO=∠PBO=90°（切线的性质：切线垂直于过切点的半径），
由切线长定理得：∠AOC=∠EOC，∠BOD=∠DOE，
∴∠COD=∠COE + ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOB。
在四边形OAPB中，∠APB=54°，∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360° - 90° - 90° - 54°=126°，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$×126°=63°。
解法二：
在△PCD中，∠P=54°，
∴∠PCD + ∠PDC=180° - 54°=126°，
∴∠ACD + ∠BDC=360° - (∠PCD + ∠PDC)=360° - 126°=234°，
由切线长定理得：∠DCO=∠ACO，∠CDO=∠BDO，
∴∠DCO + ∠CDO=$\frac{1}{2}$×234°=117°，
在△COD中，∠COD=180° - (∠DCO + ∠CDO)=180° - 117°=63°。
【答案】63°

【知识点】切线的性质、切线长定理
【点评】本题为一题多解的基础几何题，主要考查圆的切线相关性质，两种解法均围绕核心定理展开，思路清晰，适合巩固圆的切线知识点。
【难度系数】0.5

【分析】
要判断四个说法的正确性，需结合切线的性质、切线长定理、直角三角形外接圆的性质等知识逐一分析：
1. 对于①，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，PA、PB是⊙O的切线，所以PA=PB；
2. 对于②，由PA=PB，OA=OB，OP是公共边，可证△OAP≌△OBP，得∠APO=∠BPO，根据等腰三角形三线合一，OP垂直平分AB；
3. 对于③，PA是切线，故OA⊥PA，即∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，所以∠OAP+∠OBP=180°，根据圆内接四边形的判定（对角互补的四边形内接于圆），可知四边形OAPB有外接圆；
4. 对于④，△AOP是直角三角形，直角顶点为A，其外接圆的圆心是斜边OP的中点，而M是OP与⊙O的交点，不是OP中点，故M不是△AOP外接圆的圆心。
【解析】
解：逐一分析各说法：
① 因为PA、PB是⊙O的两条切线，根据切线长定理，得PA=PB，故①正确；
② 由PA=PB，OA=OB，OP=OP，可证△OAP≌△OBP，所以∠APO=∠BPO，又PA=PB，根据等腰三角形三线合一，OP⊥AB，故②正确；
③ 因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥PA，即∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，则∠OAP+∠OBP=180°，根据“对角互补的四边形内接于圆”，可知四边形OAPB有外接圆，故③正确；
④ △AOP是直角三角形，直角在A处，其外接圆的圆心是斜边OP的中点，而M是OP与⊙O的交点，不是OP的中点，所以M不是△AOP外接圆的圆心，故④错误。
综上，正确的说法是①②③，共3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；圆内接四边形；直角三角形外接圆
【点评】
本题综合考查了切线的性质、切线长定理、圆内接四边形的判定、直角三角形外接圆的圆心等知识点，需熟练掌握相关定理，逐一分析每个说法，避免出错。
【难度系数】
0.5