第106页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

C

B

$6\ \mathrm{cm}$

$\frac{2200}{9}π$

$\frac{1}{8}π$

 解：

 (1) 如图，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求作。

 (2) 如图，$△ A_2B_2C_2$ 即为所求作。

 (3) 连接 $OA, OA_2，$以点 $O$ 为圆心，$OA$ 长为半径作 $\overgroup{AA_2}。$

 由题意，易得 $OA = OA_2 = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}，$$∠ AOA_2 = 90°，$

 $\therefore \overgroup{AA_2}$ 的长为 $\frac{90π × \sqrt{17}}{180} = \frac{\sqrt{17}}{2}π，$

 即点 $A$ 所经过的路径长为 $\frac{\sqrt{17}}{2}π。$

B

【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{AC}$的长，需先确定弧对应的圆心角度数和圆的半径。首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到$∠ ACB=90°$，结合$∠ B=60°$推出$△ ABC$的内角$∠ A=30°$，进而得到弧$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC=120°$；再由直径$AB=6$求出圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A=180° - 90° - 60°=30°$。
$\because OA=OC$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ AOC$是等腰三角形，$∠ ACO=∠ A=30°$，
$\therefore$圆心角$∠ AOC=180° - 30° - 30°=120°$。
$\because AB=6$，$\therefore \odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=3$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），
$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算、圆周角定理
【点评】
本题结合圆周角定理和弧长公式考查弧长的计算，核心是求出弧对应的圆心角，属于基础几何题，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算种草区域的面积，观察图形可知，种草区域是大扇形$OAB$与小扇形$OCD$的面积差。扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），题目中圆心角$∠ AOB=120°$，大扇形半径$OA=15\ \mathrm{m}$，小扇形半径$OC=10\ \mathrm{m}$，代入公式分别计算两个扇形的面积，再求差值即可得到种草区域的面积。
【解析】
1. 计算大扇形$OAB$的面积：
$S_{大扇形}=\frac{120π×15^2}{360}=\frac{120π×225}{360}=75π\ (\mathrm{m}^2)$
2. 计算小扇形$OCD$的面积：
$S_{小扇形}=\frac{120π×10^2}{360}=\frac{120π×100}{360}=\frac{100π}{3}\ (\mathrm{m}^2)$
3. 种草区域面积为两者的差：
$S=75π - \frac{100π}{3}=\frac{225π -100π}{3}=\frac{125π}{3}\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题为基础的扇形面积差计算应用题，核心是明确阴影部分面积为同圆心角的两个扇形面积之差，熟练运用扇形面积公式即可快速求解，属于教材变式的基础题型。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题思路是利用已知的圆心角度数和弧长，代入弧长公式建立方程，通过解方程求出圆的半径。首先回忆弧长公式：$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ r $为圆的半径），将题目中已知的$ l=3π \, \mathrm{cm} $、$ n=90° $代入公式，即可求解半径$ r $。
【解析】
根据弧长公式 $ l = \frac{nπ r}{180} $，将 $ l = 3π \, \mathrm{cm} $，$ n = 90° $代入公式得：
$ 3π = \frac{90π r}{180} $
化简右边：$ \frac{90π r}{180} = \frac{π r}{2} $，方程变为：
$ 3π = \frac{π r}{2} $
两边同时除以$ π $，得：$ 3 = \frac{r}{2} $
解得：$ r = 6 \, \mathrm{cm} $
【答案】
6 cm
【知识点】
弧长公式
【点评】
本题是基础的弧长公式应用题型，直接代入公式求解即可，主要考查对弧长公式的掌握和简单的方程运算，属于初中数学的基础考点，难度较低。
【难度系数】
0.6

【分析】要计算自动喷水装置喷灌的草坪面积，即求圆心角为220°、半径为20m的扇形面积，需运用扇形面积公式，代入已知的圆心角和半径进行计算。
【解析】扇形面积公式为 $ S = \frac{nπ r^2}{360} $（其中n为圆心角度数，r为扇形半径）。将n=220°，r=20m代入公式：
$ S = \frac{220 × π × 20^2}{360} = \frac{220 × π × 400}{360} = \frac{88000π}{360} = \frac{2200}{9}π $（m²）
【答案】$\dfrac{2200}{9}π$
【知识点】扇形面积计算
【点评】本题是扇形面积公式的基础应用，直接代入公式计算即可，属于基础题型，重点考察对扇形面积公式的掌握。
【难度系数】0.8

【分析】要计算扇形部件的面积，需先确定扇形的半径和圆心角。已知圆形材料直径为1m，结合∠BAC=90°，利用圆周角定理可知BC是圆的直径，再通过等腰直角三角形的勾股定理求出扇形半径的平方，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】已知圆形材料直径为1m，故BC=1m。因为∠BAC=90°，且A、B、C在圆上，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，所以BC为圆的直径，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC。由勾股定理得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，即$2AB^2=1^2$，解得$AB^2=\frac{1}{2}$。扇形的圆心角∠BAC=90°，根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=90，r=AB，得$S=\frac{90π×AB^2}{360}=\frac{90π×\frac{1}{2}}{360}=\frac{1}{8}π$。
【答案】$\dfrac{1}{8}π$
【知识点】扇形面积计算、圆周角定理、勾股定理
【点评】本题结合圆周角定理和勾股定理求解扇形半径，再用扇形面积公式计算，属于基础几何题，考查学生对相关定理和公式的应用能力。
【难度系数】0.5

【分析】
解决本题需分三步思考：①作关于x轴对称的图形，利用“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”的坐标特征，确定各顶点对称点后连线；②作绕原点逆时针旋转90°的图形，利用“点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后对应点为(-y,x)”的坐标变换规律，确定旋转后顶点坐标再连线；③求点A的旋转路径，路径为扇形弧，需先算旋转半径OA的长度，再结合90°旋转角用弧长公式计算。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标取相反数。
已知A(1,4)、B(1,1)、C(3,1)，则对称点为A₁(1,-4)、B₁(1,-1)、C₁(3,-1)，依次连接得△A₁B₁C₁；
(2) 点绕原点逆时针转90°的坐标变换：(x,y)→(-y,x)，则旋转后点为A₂(-4,1)、B₂(-1,1)、C₂(-1,3)，依次连接得△A₂B₂C₂；
(3) 点A的旋转路径是圆心为O、半径为OA、圆心角90°的弧。
计算OA：OA=√(1²+4²)=√17，
根据弧长公式l=(nπr)/180，代入n=90、r=√17，得l=(90π×√17)/180=√17 π/2。
【答案】
(1) 作图略；(2) 作图略；(3) $\dfrac{\sqrt{17}}{2}π$

【知识点】
轴对称变换、旋转变换、弧长公式
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中图形的轴对称与旋转变换作图，以及旋转路径长计算，核心是掌握坐标变换规律和弧长公式，属于基础综合题，需具备基本作图与公式应用能力。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{BB'}$的长，需先确定旋转角$∠ BAB'$和半径$AB$（即$AB'$）。首先利用等腰$△ ABC$的性质，结合旋转的性质得到$AB=AB'$、旋转角$∠ BAB'=2α$；再由$B'D⊥ AB$，可知$△ ACD$是直角三角形，结合三角函数表示$AD$；同时在$△ ADB'$中用三角函数表示$AD$，通过等式求出$α$，进而得到旋转角和半径，最后用弧长公式计算。
【解析】
1. 由$CA=CB=4$，得$△ ABC$是等腰三角形，$∠ BAC=∠ ABC=α$，故$∠ ACB=180°-2α$。
2. 将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$2α$得$△ AB'C'$，根据旋转性质：$AB=AB'$，旋转角$∠ BAB'=2α$。
3. 因$B'D⊥ AB$，故$∠ ADB'=∠ ADC=90°$。在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=α$，$AC=4$，则$AD=AC·\cosα=4\cosα$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ADB'$中，$∠ B'AD=2α$，$AB'=AB$，由余弦定理得$AB^2=CA^2+CB^2-2CA· CB\cos∠ ACB=16+16-32\cos(180°-2α)=64\cos^2α$，故$AB=8\cosα$，即$AB'=8\cosα$，因此$AD=AB'·\cos2α=8\cosα·\cos2α$。
5. 联立$AD$的两个表达式：$4\cosα=8\cosα·\cos2α$，因$α$为锐角，$\cosα≠0$，两边除以$4\cosα$得$\cos2α=\frac{1}{2}$，故$2α=60°$，即旋转角$∠ BAB'=60°$，半径$AB=8\cos30°=4\sqrt{3}$。
6. 根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{BB'}$的长为：$\frac{60×π×4\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}\sqrt{3}π$
【知识点】
旋转的性质、弧长计算、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查旋转、等腰三角形及弧长计算，关键是通过直角三角形的三角函数关系求出旋转角，需熟练掌握弧长公式和旋转的性质。
【难度系数】
0.5