第104页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

$155°$

 解：$\because AB$是$\odot O$的直径，

 $\therefore ∠ ACB=∠ ADB=90°。$

 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because AB=6，$$AC=2，$

 $\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}。$

 $\because ∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点$D，$

 $\therefore ∠ DCA=∠ BCD，$

 $\therefore AD=BD。$

 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，易得$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=3\sqrt{2}。$

 $\therefore S_{\mathrm{四边形}ADBC}=S_{△ ABC}+S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AC· BC+\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}×2×4\sqrt{2}+\frac{1}{2}×(3\sqrt{2})^2=4\sqrt{2}+9$

C

D

13

 证明：连接$AC。$

 $\because AD$是$\odot O$的直径，

 $\therefore ∠ ACD=∠ ACE=90°。$

 $\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O，$

 $\therefore ∠ D+∠ ABC=180°。$

 $\because ∠ ABC+∠ EBC=180°，$

 $\therefore ∠ EBC=∠ D。$

 $\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，

 $\therefore ∠ 1=∠ 2。$

 又$\because ∠ 1+∠ E=∠ 2+∠ D=90°，$

 $\therefore ∠ E=∠ D，$

 $\therefore ∠ EBC=∠ E，$

 $\therefore BC=EC。$

【分析】首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补（即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）。题目给出三个角的比例关系，可设∠A为x，根据比例表示出∠B和∠C，再利用对角互补的性质列方程求出x，进而算出∠B，最后根据∠B与∠D互补求出∠D，即可选出答案。
【解析】设∠A = x，因为∠A:∠B:∠C = 1:3:8，所以∠B = 3x，∠C = 8x。由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得∠A + ∠C = 180°，即x + 8x = 180°，解得x = 20°。则∠B = 3×20° = 60°，再由∠B + ∠D = 180°，得∠D = 180° - 60° = 120°。
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质、比例计算
【点评】本题考查圆内接四边形的基本性质，属于基础题型，解题关键是牢记“圆内接四边形对角互补”，结合比例关系计算即可，难度较低。
【难度系数】0.7

【分析】
要计算∠E+∠C的值，需结合圆周角定理和圆的弧的性质：首先明确圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，再找到∠E和∠C所对弧的和与整个圆周的关系，进而推导结果。
【解析】
因为点A、B、C、D、E都在$\odot O$上，整个圆周的度数为$360°$，已知$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$50°$，所以$\overset{\frown}{AB}$的度数为$50°$，则其余弧（$\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{EA}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}$）的度数和为$360°-50°=310°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。其中，$∠ E$是圆周角，对应弧$\overset{\frown}{DCA}$；$∠ C$是圆周角，对应弧$\overset{\frown}{DEA}$，而$\overset{\frown}{DCA}$与$\overset{\frown}{DEA}$的度数和恰好等于上述其余弧的度数和$310°$。
因此，$∠ E+∠ C=\frac{1}{2}×310°=155°$。
【答案】
$155°$
【知识点】
圆周角定理、圆的弧的性质
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是找到两个圆周角所对弧的和，结合圆周角与弧的度数关系计算，属于中等难度的圆相关基础题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算四边形ADBC的面积，首先利用“直径所对圆周角为直角”确定两个直角三角形；接着在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度；再根据角平分线结合圆周角定理，得到弧相等推出AD=BD，确定△ADB为等腰直角三角形并算出AD、BD；最后将四边形面积拆分为两个直角三角形的面积之和，分别计算后相加即可。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，由勾股定理得：
BC=√(AB² - AC²)=√(6² - 2²)=√32=4√2。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，
∴弧AD=弧BD，故AD=BD。
在Rt△ABD中，AD=BD，AB=6，因此△ABD是等腰直角三角形，
则AD=BD=AB·sin45°=6×(√2/2)=3√2。
四边形ADBC的面积为S△ABC与S△ABD之和：
S△ABC=(1/2)×AC×BC=(1/2)×2×4√2=4√2，
S△ABD=(1/2)×AD×BD=(1/2)×3√2×3√2=9，
∴S四边形ADBC=4√2 +9。
【答案】
4√2 +9
【知识点】
圆周角定理、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题结合圆的性质与直角三角形知识，通过拆分四边形面积求解，关键是利用角平分线得到弧相等，进而推出等腰直角三角形，属于圆中面积计算的基础题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决本题，需依次运用圆内接四边形的性质、直径所对圆周角的性质、圆周角定理来推导角度：首先利用圆内接四边形对角互补，结合已知条件求出∠BAD的度数；再根据直径的性质得到∠BAE为直角，进而算出∠DAE的度数；最后通过圆周角定理得出弧DE的度数，结合圆心角与弧的关系得到∠DOE的度数。
【解析】
1. 利用圆内接四边形性质：
因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
已知∠BCD=2∠BAD，代入得：∠BAD + 2∠BAD = 180°，解得∠BAD=60°。
2. 利用直径的性质：
因为BE是⊙O的直径，所以∠BAE=90°（直径所对的圆周角为直角）。
因此∠DAE=∠BAE - ∠BAD=90° - 60°=30°。
3. 利用圆周角定理：
圆周角∠DAE所对的弧是弧DE，根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，所以弧DE的度数=2×∠DAE=2×30°=60°。
4. 圆心角与弧的关系：
圆心角∠DOE所对的弧是弧DE，圆心角的度数等于所对弧的度数，故∠DOE=60°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，综合考查圆的核心性质，解题关键是逐步利用各性质推导，步骤清晰即可轻松求解，属于常规题型。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需结合圆内接四边形的性质、角平分线的性质、圆周角定理和勾股定理逐步推导：首先利用圆内接四边形的外角等于内对角，结合角平分线得到角相等，再通过圆周角定理推出等腰三角形，最后在直角三角形中用勾股定理计算AE的长度。
步骤：1. 由圆内接四边形性质和角平分线得到∠ADC=∠ACD；2. 推出AC=AD=5；3. 在Rt△AEC中用勾股定理求AE。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的外角等于内对角，得∠ABE=∠ADC；
2. 又BA平分∠DBE，故∠ABE=∠ABD，因此∠ABD=∠ADC；
3. 由圆周角定理，同弧AD所对的圆周角∠ABD与∠ACD相等，即∠ABD=∠ACD，所以∠ADC=∠ACD，△ADC为等腰三角形，AC=AD=5；
4. 因为AE⊥CB，所以△AEC是直角三角形，∠E=90°，根据勾股定理：AE² + CE²=AC²；
5. 代入AC=5，CE=√13，得AE²=5² - (√13)²=25-13=12，故AE=√12=2√3。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形性质, 圆周角定理, 勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与直角三角形的勾股定理，关键是通过角的等量关系推出AC=AD，进而完成求解，需具备一定的几何推导能力。
【难度系数】
0.4

【分析】
要计算BD的长度，首先利用圆内接四边形的性质求出△BCD中∠BCD的度数，再结合已知的BC、CD长度，用余弦定理求解。具体步骤：1. 由圆内接四边形对角互补，得∠BCD=180°-∠BAD；2. 在△BCD中，应用余弦定理计算BD。
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
又
∵∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°。
在△BCD中，根据余弦定理：
BD² = BC² + CD² - 2·BC·CD·cos∠BCD，
代入BC=8，CD=7，∠BCD=120°，cos120°=-1/2，
得BD² = 8² +7² - 2×8×7×(-1/2) = 64 +49 +56 =169，
∴BD=√169=13（长度为正）。
【答案】
13
【知识点】
圆内接四边形性质、余弦定理
【点评】
本题结合圆内接四边形的性质与余弦定理求解边长，关键是利用圆内接四边形对角互补得到△BCD的内角，再通过余弦定理计算，属于基础几何计算题型。
【难度系数】
0.5

【分析】要证明$BC=EC$，根据“等角对等边”，需先证明$∠ EBC=∠ E$。首先利用AD是直径的性质得到直角，再结合圆内接四边形的性质推出$∠ EBC=∠ D$，接着利用弧中点的性质和直角三角形两锐角互余，推导得出$∠ E=∠ D$，最终得到$∠ EBC=∠ E$，即可完成证明。
【解析】连接$AC$。
1. 因为$AD$是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，所以$∠ ACD=90°$，则$∠ ACE=180°-∠ ACD=90°$。
2. 因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据“圆内接四边形的对角互补”，得$∠ ABC+∠ D=180°$；又$∠ ABC+∠ EBC=180°$（平角定义），所以$∠ EBC=∠ D$（同角的补角相等）。
3. 因为$C$是$\overgroup{BD}$的中点，根据“等弧所对的圆周角相等”，得$∠ 1=∠ 2$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ 1+∠ E=90°$；在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ 2+∠ D=90°$。结合$∠ 1=∠ 2$，得$∠ E=∠ D$（等角的余角相等）。
5. 由$∠ EBC=∠ D$和$∠ E=∠ D$，得$∠ EBC=∠ E$，根据“等角对等边”，故$BC=EC$。
【答案】连接$AC$.$\because AD$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACD=∠ ACE=90°$.$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\therefore ∠ D+∠ ABC=180°$.$\because ∠ ABC+∠ EBC=180°$,$\therefore ∠ EBC=∠ D$.$\because C$是$\overgroup{BD}$的中点,$\therefore ∠ 1=∠ 2$. 又$\because ∠ 1+∠ E=∠ 2+∠ D=90°$,$\therefore ∠ E=∠ D$.$\therefore ∠ EBC=∠ E$.$\therefore BC=EC$

【知识点】直径的圆周角性质、圆内接四边形性质、等腰三角形判定
【点评】本题综合运用圆的核心性质进行角的等量代换，是圆章节的典型证明题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.6