第100页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

C

D

$70°$

$50°$

$\sqrt{2}$

 证明：$\because ∠ AOB = ∠ BOC = 120°，$

 $\therefore ∠ AOC = 360° - 2×120° = 120°，$

 $\therefore ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ AOC，$

 $\therefore AB = BC = AC，$

 $\therefore △ ABC$是等边三角形。

【分析】要解决本题，需利用同圆中弧、弦、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等，所对的弦心距相等。已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，据此逐一分析各选项，判断哪个结论不成立。
【解析】
1. 选项A：在同圆中，相等的弧所对的弦相等，因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，所以$AB=CD$，该结论成立。
2. 选项B：在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，所以$∠ AOB=∠ COD$，该结论成立。
3. 选项C：$OM$是弦$AB$的弦心距，$ON$是弦$CD$的弦心距，同圆中相等的弦对应相等的弦心距，由$AB=CD$（已证），可得$OM=ON$，该结论成立。
4. 选项D：题目仅给出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，无任何条件说明$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，因此该结论不成立。
综上，不成立的结论是选项D。
【答案】D
【知识点】圆的弧弦圆心角关系、弦心距性质
【点评】本题考查圆的基础性质，核心是掌握同圆中弧、弦、圆心角、弦心距的对应关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

【分析】
要解决本题，首先明确AB是直径，因此∠AOB为平角（180°），结合已知∠AOE=60°可算出∠EOB的度数；再根据C、D是弧BE的三等分点，得出对应的圆心角相等，将∠EOB三等分后，即可求出∠COE的度数。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB = 180°$。
已知$∠ AOE = 60°$，则$∠ EOB = ∠ AOB - ∠ AOE = 180° - 60° = 120°$。
2. 由于C、D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，因此$\overset{\frown}{EC}$被分为三等份，对应的圆心角相等，即$∠ EOD = ∠ DOC = ∠ COB = \frac{1}{3}∠ EOB = \frac{1}{3} × 120° = 40°$。
3. 所以$∠ COE = ∠ EOD + ∠ DOC = 40° + 40° = 80°$。
【答案】
C
【知识点】
圆心角与弧的关系；平角的性质
【点评】
本题为教材变式基础题，考查圆心角与对应弧的关系，利用直径的平角性质和三等分点的特点即可求解，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决本题，需先根据已知条件推导各圆心角的度数，再结合圆的性质和直角三角形的相关知识求解。步骤如下：1. 由AB是直径和∠BOD的度数，计算出∠AOD的度数；2. 利用C是弧BD中点，得出∠COD的度数，进而得到∠AOC的度数；3. 根据OA=OC，求出△AOC的底角度数，结合∠AOE的度数，判断△AOE为直角三角形；4. 结合DE的长度，求出圆的半径，再计算AE的长度。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，所以∠AOB=180°，已知∠BOD=120°，则∠AOD=180°-120°=60°。
2. 因为C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，故∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，因此∠AOC=∠AOD+∠COD=60°+60°=120°。
3. 因为OA、OC都是⊙O的半径，所以OA=OC，在△AOC中，∠OAC=∠OCA=$\frac{180°-120°}{2}$=30°。
4. 在△AOE中，∠AOE=∠AOD=60°，∠OAE=30°，所以∠AEO=180°-60°-30°=90°，即△AOE是直角三角形，且∠OAE=30°，故OE=$\frac{1}{2}$OA。
5. 设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OE=$\frac{1}{2}$r，已知DE=OD-OE=r - $\frac{1}{2}$r=$\frac{1}{2}$r=1，解得r=2。
6. 在Rt△AOE中，AE=OA·cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
圆的性质、圆心角、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的圆心角性质与直角三角形的边角关系，关键是通过圆心角推导直角三角形，利用30°角的直角三角形性质求解，属于中等难度的圆相关题型。
【难度系数】
0.5

【分析】首先根据圆中相等的弧对应相等的弦，得出AB=AC，进而判断△ABC是等腰三角形；已知顶角∠A的度数，结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质，即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴AB=AC（等弧对等弦），
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
又
∵三角形内角和为180°，∠A=40°，
∴∠C=(180°−∠A)÷2=(180°−40°)÷2=70°。
【答案】70°
【知识点】弧弦关系、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】本题是基础几何题，考查圆的弧弦对应关系及等腰三角形的性质，解题关键是利用等弧对等弦转化为等腰三角形，再结合内角和计算，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7

【分析】
要解决本题，需先明确弦BD对应的圆心角是∠BCD，再逐步推导该角度：首先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，接着根据圆的半径相等得到△CBD为等腰三角形，最后结合三角形内角和定理计算出∠BCD的度数，即为所求圆心角的度数。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B=90°−∠A=90°−25°=65°。
因为CB、CD都是⊙C的半径，所以CB=CD，因此△CBD是等腰三角形，故∠CDB=∠B=65°。
根据三角形内角和为180°，可得∠BCD=180°−∠B−∠CDB=180°−65°−65°=50°，即弦BD所对的圆心角的度数为50°。
【答案】
50°
【知识点】
直角三角形性质、等腰三角形性质、圆心角
【点评】
本题结合直角三角形、等腰三角形的性质与圆的半径相等的性质，考查圆心角的计算，核心是利用等腰三角形的角度关系推导圆心角，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5

【分析】要计算AB'的长度，需结合圆的性质、对称性质确定相关角度，再利用勾股定理求解。首先连接OA、OB'，根据A是半圆三等分点求出∠AON的度数，再由B是弧AN中点及B与B'关于MN对称，得到∠B'ON的度数，进而确定∠AOB'的度数，最后用勾股定理计算AB'。
【解析】连接OA、OB'。
1. 因为MN是⊙O的直径，A是半圆上的三等分点，所以弧AN的度数为$\frac{180°}{3}=60°$，即$∠ AON=60°$。
2. 由于B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，故$\overset{\frown}{BN}$的度数为$\frac{60°}{2}=30°$，即$∠ BON=30°$。
3. 因为B'是点B关于MN的对称点，根据轴对称性质，$∠ B'ON=∠ BON=30°$。
4. 因此$∠ AOB'=∠ AON+∠ B'ON=60°+30°=90°$。
5. 已知⊙O半径为1，所以$OA=OB'=1$，在$Rt△ AOB'$中，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{OA^2+OB'^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】圆的圆心角、勾股定理、轴对称性质
【点评】本题关键是利用圆的弧与圆心角的关系及对称性质求出$∠ AOB'$为直角，再结合勾股定理计算线段长度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5

【分析】要证明△ABC是等边三角形，需证明其三边相等。根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，先计算出∠AOC的度数，得到三个圆心角相等，进而推出三边相等，即可完成证明。
【解析】
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=360°−∠AOB−∠BOC=360°−120°−120°=120°，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC，
又
∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形。
【答案】△ABC是等边三角形，证明过程如上。
【知识点】圆心角与弦的关系，等边三角形的判定
【点评】本题考查圆的圆心角性质及等边三角形的判定，属于基础题型，需掌握同圆中圆心角与弦的对应关系。
【难度系数】0.6