解：
(1)
∵一次函数$y=-x+4$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于点$A(-1,m)，$
∴$m=1+4，$解得$m=5，$即$A(-1,5)。$
将$A(-1,5)$代入$y=\frac{k}{x}，$得$k=-1×5=-5。$
(2) 设点$Q$的坐标为$(t,-t+4)，$则$P(t,-\frac{5}{t})(t＞0)。$
∴$PQ=\left|-\frac{5}{t} + t -4\right|。$
∵$S_{△ POQ}=\frac{1}{2}PQ· t=4，$
∴$PQ=\frac{8}{t}，$即$\left|-\frac{5}{t} + t -4\right|=\frac{8}{t}。$
解得$t=2-\sqrt{17}$（不合题意，舍去）或$t=2+\sqrt{17}$或$t=3$或$t=1。$
经检验，$t=2+\sqrt{17}$或$t=3$或$t=1$均是原分式方程的解，且符合题意。
∴点$Q$的坐标为$(2+\sqrt{17},2-\sqrt{17})$或$(3,1)$或$(1,3)。$
解：
(1) 设反比例函数的解析式为$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)。$
∵反比例函数的图象经过点$A(-3,1)，$
∴$k_1=-3×1=-3，$
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}。$
∵点$B(1,n)$在反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象上，
∴$n=-3，$即$B(1,-3)。$
设一次函数的解析式为$y=k_2x+b(k_2≠0)，$将$A(-3,1)$、$B(1,-3)$代入得：
$\begin{cases}-3k_2 + b = 1\\k_2 + b = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-1\\b=-2\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=-x-2。$
(2)
∵点$C$在反比例函数的图象上，点$D$在直线$AB$上，点$C$的横坐标为$a，$$CD⊥ x$轴，
∴$C(a,-\frac{3}{a})，$$D(a,-a-2)。$
∵$CD=\frac{7}{2}，$
∴$(-a-2)-(-\frac{3}{a})=\frac{7}{2}，$整理得$2a^2+11a-6=0。$
解得$a_1=-6，$$a_2=\frac{1}{2}。$
∵$a＜-3，$
∴$a=-6。$
解：
(1) 设直线$AB$对应的函数解析式为$y=mx+b(m≠0)。$
∵点$A(1,0)，$$B(0,2)$在直线$AB$上，
∴$\begin{cases}0=m+b\\2=b\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-2\\b=2\end{cases}$
∴直线$AB$对应的函数解析式为$y=-2x+2。$
过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D。$
∵线段$AB$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$得到线段$AC，$
∴易证$△ CAD≌△ ABO，$
∴$AD=BO=2，$$CD=AO=1，$
∴点$C$的坐标为$(3,1)。$
∵点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$第一象限的图象上，
∴$k=3×1=3，$
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}。$
(2) 由题意，设经过点$P$且与直线$AB$平行的直线对应的函数解析式为$y=-2x+h(h＞0)。$
令$-2x+h=\frac{3}{x}，$整理得$2x^2 -hx +3=0。$
当$\Delta=(-h)^2 -4×2×3=0，$即$h=2\sqrt{6}$（$h=-2\sqrt{6}$不合题意，舍去）时，点$P$到直线$AB$的距离最短。
此时解得$x=\frac{h}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}，$代入$y=\frac{3}{x}$得$y=\sqrt{6}，$
∴点$P$的坐标为$(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})。$
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一次函数上点的坐标特征求出点A的坐标，再结合反比例函数中k=xy的性质计算k值；第(2)问设出Q点横坐标，根据PQ垂直x轴得到P点横坐标，结合反比例函数表示出P点纵坐标，利用三角形面积公式建立关于横坐标的方程，解方程后舍去不符合题意的解，得到Q点坐标。
【解析】
(1) 已知点A(-1,m)在一次函数$y=-x+4$的图象上，将$x=-1$代入一次函数解析式得：
$m = -(-1) + 4 = 5$，因此A点坐标为$(-1,5)$。
又因为点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，根据反比例函数性质，$k = x·y = (-1)×5 = -5$。
(2) 设点Q的坐标为$(t, -t+4)$，由于PQ垂直于x轴，因此点P的横坐标也为$t$。
因为点P在反比例函数$y=\dfrac{-5}{x}$的图象上，所以P点坐标为$(t, -\dfrac{5}{t})$。
因为P位于第四象限，故$t＞0$，PQ的长度为两点纵坐标差的绝对值：$PQ = \left|(-t+4) - (-\dfrac{5}{t})\right| = \left| -t + 4 + \dfrac{5}{t} \right|$。
已知$△ POQ$的面积为4，根据三角形面积公式（底为$t$，高为$PQ$）：
$S_{△ POQ} = \dfrac{1}{2}×t×PQ = 4$，代入$PQ$的表达式得：
$\dfrac{1}{2}×t×\left| -t + 4 + \dfrac{5}{t} \right| = 4$，化简得：
$\left| -t^2 + 4t + 5 \right| = 8$。
分两种情况解方程：
① 当$-t^2 + 4t +5 =8$时，整理得$t^2 -4t +3=0$，解得$t=1$或$t=3$，均符合$t＞0$的条件；
② 当$-t^2 +4t +5=-8$时，整理得$t^2 -4t -13=0$，解得$t=2±\sqrt{17}$，舍去负解$t=2-\sqrt{17}$，得$t=2+\sqrt{17}$，符合条件。
将$t$的值代入Q点坐标$(t, -t+4)$：
当$t=1$时，$Q(1,3)$；当$t=3$时，$Q(3,1)$；当$t=2+\sqrt{17}$时，$Q(2+\sqrt{17}, 2-\sqrt{17})$。
【答案】
(1) $k=-5$；(2) 点Q的坐标为$(1,3)$、$(3,1)$或$(2+\sqrt{17},2-\sqrt{17})$
【知识点】
反比例函数、一次函数、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的交点问题，需结合函数点的坐标特征、三角形面积公式建立方程，解方程时要根据题意舍去不符合的解，考查数形结合与运算能力。
【难度系数】
0.4
【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用待定系数法，先通过反比例函数过点A求出反比例函数解析式，再代入点B的坐标得到B点，最后将A、B代入一次函数解析式求解；第(2)问根据函数图像上点的坐标特征写出C、D的坐标，结合CD的长度列方程，再根据a的取值范围筛选出符合条件的解。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为$ y=\dfrac{k_1}{x}(k_1≠0) $，
因为反比例函数图象过点$ A(-3,1) $，代入得$1=\dfrac{k_1}{-3}$，解得$k_1=-3$，
故反比例函数解析式为$ y=-\dfrac{3}{x} $。
因为点$ B(1,n) $在反比例函数图象上，代入得$n=-\dfrac{3}{1}=-3$，即$B(1,-3)$。
设一次函数解析式为$ y=k_2x+b(k_2≠0) $，将$A(-3,1)$、$B(1,-3)$代入得：
$\begin{cases}-3k_2 + b =1 \\k_2 + b = -3\end{cases}$，
两式相减得$4k_2=-4$，解得$k_2=-1$，代入$k_2 + b=-3$得$b=-2$，
故一次函数解析式为$ y=-x-2 $。
(2) 因为点$ C $在反比例函数图象上，横坐标为$a(a＜-3)$，所以$ C(a, -\dfrac{3}{a}) $；
又$CD⊥x$轴，点$D$在直线$AB$上，横坐标为$a$，故$D(a, -a-2)$。
由$CD=\dfrac{7}{2}$，得$(-a-2)-(-\dfrac{3}{a})=\dfrac{7}{2}$，整理得$2a^2+11a-6=0$，
解得$a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_2=-6$。
因为$a＜-3$，舍去$\dfrac{1}{2}$，故$a=-6$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$ y=-\dfrac{3}{x} $，一次函数解析式为$ y=-x-2 $；(2) $ a=-6 $
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数解析式、函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，核心考查待定系数法求函数解析式，以及利用点的坐标关系解决线段长度问题，需注意自变量的取值范围避免错解。
【难度系数】
0.5
【分析】
首先处理第(1)问：求直线AB的解析式用待定系数法，代入A、B两点坐标即可；线段AB绕A顺时针转90°得AC，利用旋转性质证△CAD≌△ABO，求出C点坐标，再代入反比例函数求k。第(2)问：点P到直线AB距离最短时，过P且平行AB的直线与反比例函数相切，联立方程用判别式为0求参数，进而得P点坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=mx+b(m≠0)$，
将$A(1,0)$、$B(0,2)$代入得：$\begin{cases}0=m+b \\ 2=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2 \\ b=2\end{cases}$，
故直线AB的解析式为$y=-2x+2$。
过C作$CD⊥x$轴于D，由旋转性质知$AC=AB$，$∠ CAD=∠ ABO$，$∠ ADC=∠ AOB=90°$，故$△ CAD≌△ ABO(AAS)$，
得$AD=BO=2$，$CD=AO=1$，因A(1,0)，则D(3,0)，C(3,1)。
将C(3,1)代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=3×1=3$，故反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 设过P且平行AB的直线为$y=-2x+h(h＞0)$，当该直线与$y=\frac{3}{x}$相切时，P到AB距离最短，联立得：
$-2x+h=\frac{3}{x}$，整理为$2x^2 -hx +3=0$，
相切时判别式$\Delta=h^2 - 4×2×3=0$，解得$h=2\sqrt{6}(h＞0)$，
代入方程得$2x^2 -2\sqrt{6}x +3=0$，解得$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$，则$y=\sqrt{6}$，故P点坐标为$(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})$。
【答案】
(1) 直线AB的解析式为$y=-2x+2$，反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
(2) 点P的坐标为$(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})$。
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数解析式、旋转性质
【点评】
本题综合考查待定系数法、旋转全等、反比例函数与直线相切的性质，需掌握点到直线最短距离的转化方法，是一道综合性中档题。
【难度系数】
0.5
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