第50页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

11

 解：

 (1) 设猪肉粽每盒的进价为$a$元，则豆沙粽每盒的进价为$(a-20)$元。

 根据题意，得$\frac{5000}{a}=\frac{3000}{a-20}，$

 解得$a=50。$

 经检验，$a=50$是所列方程的解，此时$a-20=30。$

 答：猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元。

 (2) 由题意，当猪肉粽每盒的售价为$x$元（$52≤ x≤70$）时，每天可售出$[180-10(x-52)]$盒。

 $\begin{aligned}&y\\=&(x-50)[180-10(x-52)]\\=&(x-50)(-10x+700)\\ =&-10x^2+1200x-35000\\ =&-10(x-60)^2+1000 \end{aligned}$

 $\because -10＜0，$$52≤ x≤70，$

 $\therefore$ 当$x=60$时，$y$取最大值，最大值为1000。

 答：$y$关于$x$的函数解析式为$y=-10x^2+1200x-35000\ (52≤ x≤70)，$$y$的最大值为1000。

C

180

14400

【分析】要解决这个问题，需利用二次函数的性质求最大值。已知销售利润与销售数量的函数为二次函数，且二次项系数为负，说明抛物线开口向下，存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，因此计算该二次函数的顶点纵坐标即可得到最大销售利润。
【解析】对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a≠0$），当$a＜0$时，函数在顶点处取得最大值，最大值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。本题中$a=-2$，$b=4$，$c=5$，代入公式计算：
$\begin{aligned}最大值&=\frac{4×(-2)×5 - 4^2}{4×(-2)}\\&=\frac{-40 -16}{-8}\\&=\frac{-56}{-8}\\&=7\end{aligned}$
也可通过配方验证：$y=-2x^2+4x+5=-2(x-1)^2 +7$，当$x=1$时，$y$取最大值7万元。
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【点评】本题结合实际销售利润问题考查二次函数最值的应用，核心是利用二次函数性质求顶点纵坐标，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

【分析】
要解决这个问题，需先明确营业额的计算逻辑：营业额=旅游团人数×每人的报价。首先设旅游团人数为x，根据“30人起组团，每增加1人报价降低10元”的优惠规则，推导每人的报价表达式，进而得到营业额关于人数的函数，再利用二次函数的性质求最大值，即可确定使营业额最大的旅游团人数。
【解析】
设旅游团人数为x（x≥30，且报价800-10(x-30)≥0，解得x≤110），营业额为y元。
根据题意，每人的报价为：800 - 10(x - 30) = 1100 - 10x；
则营业额y = x·(1100 - 10x) = -10x² + 1100x；
该函数为二次函数，其中a=-10＜0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值；
二次函数顶点横坐标为x = -b/(2a) = -1100/(2×(-10)) = 55；
即当x=55时，营业额最大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是正确建立营业额与人数的函数关系，利用二次函数顶点式求最值，需注意自变量的取值范围。
【难度系数】
0.6

【分析】首先明确利润的计算公式：利润=（销售单价-成本单价）×销售量。本题中，成本为8元，原销售单价9元，原销售量20件，销售单价每提高1元销售量减少4件，因此设销售单价提高$ x $元，可分别表示出调整后的销售单价和销售量，进而得到利润的函数关系式，再利用二次函数的性质求利润最大值对应的销售单价。
【解析】设销售单价提高$ x $元，每天所获销售利润为$ y $元。
根据利润公式可得：
$ y=(9 + x - 8)(20 - 4x) $
化简整理得：
$ y=(1 + x)(20 - 4x) = -4x^2 + 16x + 20 $
对于二次函数$ y=ax^2 + bx + c $（$ a≠0 $），当$ a＜0 $时，函数在$ x=-\frac{b}{2a} $处取得最大值。
此处$ a=-4 $，$ b=16 $，代入得：
$ x=-\frac{16}{2×(-4)} = 2 $
因此销售单价为$ 9 + 2 = 11 $元时，每天所获销售利润最大。
【答案】11
【知识点】二次函数的应用、二次函数的最值
【点评】本题为教材变式题，核心是建立利润与单价变化量的二次函数关系，利用二次函数的性质求解最值，是中考常见的实际应用题型，需掌握此类问题的建模方法。
【难度系数】0.6

【分析】
本题分为两小问，第(1)问是求两种粽子的进价，属于分式方程的实际应用，核心是利用“用5000元购进猪肉粽的盒数与用3000元购进豆沙粽的盒数相同”这一等量关系，设猪肉粽进价为$a$元，豆沙粽为$(a-20)$元，根据“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意解分式方程后需检验；第(2)问是求销售利润的函数解析式及最大值，属于二次函数的实际应用，需先根据售价与销售量的关系（售价每提高1元少售10盒）表示出销售量，再利用“利润=每盒利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质和给定的售价范围求最大值。
【解析】
(1) 设猪肉粽每盒的进价为$a$元，则豆沙粽每盒的进价为$(a-20)$元。
根据题意，两种粽子购进的盒数相同，可得：
$\dfrac{5000}{a} = \dfrac{3000}{a-20}$
方程两边同乘$a(a-20)$去分母，得：
$5000(a-20) = 3000a$
展开计算：$5000a - 100000 = 3000a$
移项合并：$2000a = 100000$，解得$a = 50$。
经检验，当$a=50$时，$a(a-20)=50×30=1500≠0$，故$a=50$是原分式方程的解。
此时豆沙粽进价为$a-20=50-20=30$元。
(2) 当猪肉粽售价为$x$元（$52≤x≤70$）时，售价从52元提高了$(x-52)$元，每提高1元少售10盒，因此销售量为：
$180 - 10(x-52) = -10x + 700$（盒）
每盒利润为$(x-50)$元，总利润$y$为：
$y=(x-50)(-10x+700)$
展开化简：
$y=-10x² + 1200x - 35000$
配方得：
$y=-10(x-60)² + 1000$
因为二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，顶点横坐标$x=60$在定义域$52≤x≤70$内，故当$x=60$时，$y$取最大值1000元。
【答案】
(1) 猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元；
(2) $y$关于$x$的函数解析式为$y=-10x²+1200x-35000$（$52≤x≤70$），$y$的最大值为1000元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数的应用
【点评】
本题结合端午节传统文化情境，考查分式方程与二次函数的实际应用，解题时需注意分式方程解的检验，以及二次函数在给定区间内最值的求解，是初中数学的重点应用题型，需准确把握等量关系与函数性质。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：①设每张床位每天的收费提高$x$个2元，便于表示提高后的收费和租出的床位数；②根据“总租金=每张床位收费×租出床位数”建立二次函数关系式；③利用二次函数性质求最值，结合$x$为整数的实际意义，计算整数$x$对应的租金；④根据题目“租出的床位少且租金高”的要求，选择合适的$x$，最终算出每张床位的收费。
【解析】
设每张床位每天的收费提高$x$个2元，每天的租金为$y$元。
根据题意，每张床位提高后的收费为$(10 + 2x)$元，租出的床位数为$(100 - 10x)$张，因此总租金：
$y=(10 + 2x)(100 - 10x)= -20x^2 + 100x + 1000$。
因为二次项系数$-20 ＜ 0$，函数图象开口向下，顶点处取最大值，顶点横坐标：
$x = -\frac{100}{2×(-20)} = 2.5$。
又因为$x$为整数，分别计算$x=2$和$x=3$时的租金：
当$x=2$时，$y=(10 + 4)(100 - 20)=14×80=1120$元；
当$x=3$时，$y=(10 + 6)(100 - 30)=16×70=1120$元。
题目要求“租出的床位少且租金高”，租出床位数为$100 - 10x$，$x$越大租出床位越少，故选择$x=3$。
因此每张床位每天最合适的收费是$10 + 2×3 = 16$元。
【答案】C
【知识点】二次函数的应用、实际问题中的最值
【点评】本题为教材变式题，考查二次函数在实际问题中的应用，需注意自变量的实际取值为整数，同时结合题目给定的两个条件筛选解，体现了数学解决实际问题的实用性。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决这个问题，首先明确日营业额的计算逻辑：日营业额=每间标准房价格×入住房间数。根据已知的入住房间数与价格的函数关系，建立日营业额的函数表达式，该函数为二次函数，需结合价格的取值范围（180≤x≤250），分析二次函数的单调性，从而确定最大值对应的价格和最大营业额。
【解析】
设宾馆的日营业额为$ W $元，根据题意，日营业额$ W = x · y $，其中$ y = -\dfrac{1}{2}x + 170 $，代入得：
$W = x(-\dfrac{1}{2}x + 170) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 170x$
该函数是二次函数，其中$ a = -\dfrac{1}{2} ＜ 0 $，抛物线开口向下，对称轴为：
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{170}{2 × (-\dfrac{1}{2})} = 170$
已知价格$ x $的取值范围是$ 180 ≤ x ≤ 250 $，对称轴$ x=170 $在该区间左侧，因此在区间$ [180,250] $内，$ W $随$ x $的增大而减小。
故当$ x $取区间最小值$ 180 $时，$ W $取得最大值，代入计算：
$W_{\mathrm{最大}} = 180 × (-\dfrac{1}{2} × 180 + 170) = 180 × 80 = 14400$
【答案】
180；14400
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，核心是建立营业额的函数关系，关键在于结合自变量的取值范围判断函数的单调性，避免直接取顶点值导致错误，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】
0.6