第44页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

$b＞\frac{1}{4}$

 解：

 (1) 令$x^2+mx+m-2=0，$

 $\therefore \Delta = m^2 - 4×1×(m-2) = m^2 -4m +8 = (m-2)^2 +4 ＞0，$

 $\therefore$ 无论$m$为何实数，此函数图象与$x$轴总有两个交点。

 (2) 由题意，方程$x^2+mx+m-2=0$的两根分别为$x_1,x_2，$

 $\therefore x_1+x_2=-m，$$x_1x_2=m-2。$

 $\because x_1x_2 -x_1 -x_2 =4，$即$x_1x_2 -(x_1+x_2)=4，$

 $\therefore m-2 - (-m) =4，$

 解得$m=3。$

D

$m＜0$

 解：

 (1) 由二次函数图象可知，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1，$$x_2=3。$

 (2) 由图象可知，不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为$x＜1$或$x＞3。$

 (3) 该二次函数的最大值为2，若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，则$k＜2。$

【分析】
要解决这个问题，需利用二次函数图像与x轴交点个数和判别式的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与x轴有两个不同交点时，对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。首先确定本题中二次函数的$a、b、c$值，代入判别式公式得到关于$k$的不等式，解不等式后对比选项即可得出答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - 3x + k$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=k$。
因为其图像与x轴有两个不同交点，所以判别式$\Delta ＞ 0$，即：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×k = 9 - 4k ＞ 0$
解不等式$9 - 4k ＞ 0$：
移项得：$-4k ＞ -9$，
两边同时除以$-4$（不等号方向改变），得：$k ＜ \frac{9}{4}$。
对比选项，符合条件的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考察二次函数图像与x轴交点和判别式的对应关系，解题关键是牢记判别式的条件，解不等式时注意不等号方向的变化，整体难度较低，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这个问题，需根据二次函数函数值的定义，将函数值3代入二次函数表达式，转化为一元二次方程，求解方程得到自变量的值，再对应选项选出正确答案。
【解析】
已知二次函数$y=x^2 + 2x$，当函数值为3时，令$y=3$，可得方程：
$x^2 + 2x = 3$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 + 2x - 3 = 0$
因式分解得：
$(x + 3)(x - 1) = 0$
解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$，即自变量的值为1或-3。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的函数值、一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查函数值与自变量的对应关系，通过代入转化为一元二次方程求解，步骤简单，属于学生应掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8

【分析】
要确定二次函数$y=x^2+x+b$的图像总在$x$轴上方时$b$的取值，需明确：当二次函数开口向上时，若图像始终在$x$轴上方，说明该函数与$x$轴无交点，对应的一元二次方程$x^2+x+b=0$无实根，即判别式小于0。接下来根据判别式公式列出关于$b$的不等式，解不等式即可得到$b$的范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+x+b$，其二次项系数$a=1＞0$，因此函数图像开口向上。若图像总在$x$轴上方，则该函数与$x$轴无交点，即对应的一元二次方程$x^2+x+b=0$的判别式$\Delta＜0$。根据判别式公式$\Delta=B^2-4AC$（其中$A=1$，$B=1$，$C=b$），代入得：$\Delta=1^2 - 4×1× b=1-4b$。令$\Delta＜0$，即$1-4b＜0$，移项得$-4b＜-1$，两边同时除以$-4$（不等号方向改变），解得$b＞\frac{1}{4}$。
【答案】
$b＞\dfrac{1}{4}$
【知识点】
二次函数图像与x轴的位置关系、一元二次方程判别式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心是掌握开口向上的二次函数图像在x轴上方的条件，利用判别式求解参数范围，难度不大，属于期中测试的基础题型。
【难度系数】
0.5

【分析】
第(1)问要证明二次函数图象与x轴总有两个交点，需转化为证明对应的一元二次方程的判别式Δ＞0，先令y=0得到方程，计算判别式并化简，判断其恒正即可；第(2)问利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两根之和与两根之积关于m的表达式，将已知等式变形后代入表达式，解关于m的方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 令y=0，则方程为$x^2 + mx + m - 2 = 0$，
计算判别式$\Delta = m^2 - 4×1×(m - 2) = m^2 - 4m + 8$，
配方得$\Delta = (m - 2)^2 + 4$，
∵ $(m - 2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
∴ 无论m为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
(2) 由题意，方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，
根据韦达定理，得$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = m - 2$，
已知$x_1x_2 - x_1 - x_2 = 4$，将其变形为$x_1x_2 - (x_1 + x_2) = 4$，
代入得：$(m - 2) - (-m) = 4$，
化简得：$2m - 2 = 4$，解得$m = 3$。
【答案】
(1) 无论m为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
(2) $m = 3$
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程根的判别式、韦达定理
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，核心是根的判别式和韦达定理的应用，属于基础常规题，解题思路清晰，步骤明确，需掌握判别式与交点个数的对应关系及韦达定理的内容。
【难度系数】
0.7

【分析】要判断抛物线顶点所在象限，需先确定顶点的横、纵坐标符号。首先利用一元二次方程根的判别式推导纵坐标符号，再通过韦达定理结合已知条件推导横坐标符号，最终根据坐标符号确定象限。
【解析】
1. 抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$。
2. 因方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，即$4ac - b^2 ＜ 0$。又$a＞0$，因此顶点纵坐标$\frac{4ac - b^2}{4a} ＜ 0$，说明顶点在$x$轴下方。
3. 根据韦达定理，方程两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$，已知$x_1+x_2＞0$且$a＞0$，则$-\frac{b}{a} ＞ 0$，两边同乘正数$a$得$-b＞0$，即$b＜0$。
4. 顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因$b＜0$，故$-b＞0$，结合$a＞0$，得$-\frac{b}{2a} ＞ 0$，说明顶点在$y$轴右侧。
5. 综上，顶点横坐标为正、纵坐标为负，故顶点在第四象限。
【答案】D
【知识点】二次函数顶点坐标、韦达定理、象限判断
【点评】本题结合二次函数与一元二次方程的关系，综合运用判别式、韦达定理推导顶点坐标符号，考查二次函数基本性质的应用，需熟练掌握相关知识点。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决这个问题，我们先将一元二次方程变形，结合二次函数的图像性质分析根的情况：首先把方程$ax^2+bx+m=0$转化为$ax^2+bx=-m$，其根的几何意义是二次函数$y=ax^2+bx$的图像与直线$y=-m$交点的横坐标。题目要求两个根异号，即两个交点的横坐标一正一负，结合二次函数$y=ax^2+bx$的图像（开口向上，过原点，与x轴另一交点在正半轴），只有当直线$y=-m$在x轴上方时，二次函数与直线的交点才会一个在x轴负半轴、一个在正半轴，由此可确定$m$的范围。
【解析】
1. 对一元二次方程$ax^2+bx+m=0$变形得：$ax^2+bx=-m$，该方程的两个实数根是二次函数$y=ax^2+bx$的图像与直线$y=-m$交点的横坐标。
2. 观察二次函数$y=ax^2+bx$的图像：开口向上，与x轴交于原点$(0,0)$和正半轴上一点，因此当$y＞0$时，对应的$x$值为$x＜0$或$x＞x_2$（$x_2$为正半轴的交点横坐标）；当$y=0$时，$x=0$或$x=x_2$；当$y＜0$时，$0＜x＜x_2$。
3. 要使方程$ax^2+bx=-m$的两个根异号，即两个交点的横坐标一正一负，需满足直线$y=-m$在x轴上方，即$-m＞0$，解得$m＜0$。
【答案】
$m＜0$
【知识点】
二次函数图像性质；一元二次方程根的分布
【点评】
本题通过将一元二次方程转化为两个函数的交点问题，结合二次函数的图像特征分析根的符号，核心是理解方程根的几何意义，是二次函数与方程结合的典型题型。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这道题，需利用二次函数图像与一元二次方程、不等式的对应关系：①一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数图像与x轴交点的横坐标；②不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是二次函数图像在x轴下方部分对应的x的取值范围；③方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等实根，等价于直线$y=k$与二次函数图像有两个不同交点，结合函数最值即可求解。
【解析】
（1）一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标，由图像可知，函数与x轴交于$(1,0)$和$(3,0)$，因此方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$；
（2）不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是二次函数图像在x轴下方对应的x的取值范围，由图像（开口向下）可知，当$x＜1$或$x＞3$时，函数图像在x轴下方，因此解集为$x＜1$或$x＞3$；
（3）由二次函数图像可知，其顶点坐标为$(2,2)$，即函数的最大值为2。方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，等价于直线$y=k$与二次函数图像有两个不同交点，因此$k$需小于函数的最大值，即$k＜2$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=3$；(2) $x＜1$或$x＞3$；(3) $k＜2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式、二次函数图像性质
【点评】
本题为教材变式题，考查二次函数图像与代数问题的转化，属于基础题型，需掌握图像交点与方程根、函数值正负与不等式解集的对应关系，以及利用函数最值判断方程根的情况。
【难度系数】
0.6