第38页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

D

$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+2$

3

 抛物线对应的函数解析式可配方成顶点式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+\frac{5}{2}，$

 ∴抛物线开口向下，对称轴是直线$x=3，$顶点坐标是$(3,\frac{5}{2})$

 先将解析式展开得$y=2x^2-5x+2，$配方成顶点式为$y=2(x-\frac{5}{4})^2-\frac{9}{8}，$

 ∴抛物线开口向上，对称轴是直线$x=\frac{5}{4}，$顶点坐标是$(\frac{5}{4},-\frac{9}{8})$

 解：$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，$

 ∴该函数图象的顶点坐标是$(2,-1)。$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。

【分析】
要判断二次函数$y=-2x^2-3x+1$的图象，需结合二次函数的核心性质逐步分析：首先由二次项系数确定抛物线开口方向，再通过对称轴公式确定对称轴位置，据此排除错误选项，锁定正确答案。
第一步：二次函数一般式为$y=ax^2+bx+c$，本题中$a=-2$，因$a＜0$，抛物线开口向下，可先排除开口向上的选项C、D；
第二步：根据对称轴公式计算对称轴位置，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$、$b=-3$，得$x=-\frac{-3}{2×(-2)}=-\frac{3}{4}$，说明对称轴在$x$轴负半轴；
第三步：对比剩余选项A、B，A的对称轴在$x$轴正半轴，B的对称轴在$x$轴负半轴，符合计算结果，即可确定答案。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2-3x+1$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的选项C、D；
2. 计算对称轴位置：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=-3$，得$x=-\frac{-3}{2×(-2)}=-\frac{3}{4}$，即对称轴位于$x$轴负半轴；
3. 筛选正确选项：选项A的对称轴在$x$轴正半轴，不符合计算结果；选项B的对称轴在$x$轴负半轴，与计算结果一致，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质、开口方向、对称轴
【点评】
本题考查二次函数图象的基础性质，需掌握二次项系数对开口方向的影响，以及对称轴公式的应用，属于常规基础题，侧重考查学生对二次函数核心知识点的掌握。
【难度系数】
0.6

【分析】要确定当$y＜3$时$x$的取值范围，需利用二次函数的对称性找到$y=3$对应的另一个$x$值，再结合二次函数的开口方向分析：1. 从图像中确定二次函数的对称轴为直线$x=1$；2. 已知图像过点$(0,3)$，根据对称轴的对称性，找到$y=3$时的另一个$x$值；3. 结合二次函数开口方向，判断$y＜3$时$x$的范围。
【解析】解：由二次函数图像可知，其对称轴为直线$x=1$，且图像过点$(0,3)$。根据二次函数的对称性，点$(0,3)$关于直线$x=1$的对称点为$(2,3)$，即当$y=3$时，$x=0$或$x=2$。又因为该二次函数开口向下，所以当$y＜3$时，对应的$x$取值范围是$x＜0$或$x＞2$，故答案选B。
【答案】B
【知识点】二次函数图像性质、二次函数对称性
【点评】本题考查二次函数的图像与性质，核心是利用对称轴找到函数值相等的对应点，结合开口方向确定不等式解集，属于基础题型，需熟练掌握二次函数的对称性应用。
【难度系数】0.5

【分析】
要判断二次函数的性质，需先确定其一般式中各项系数，再依据二次函数的核心性质逐一分析选项：①开口方向由二次项系数a的符号决定；②对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，结合开口方向可判断增减性；③与y轴交点为$x=0$时的函数值；④对称轴位置可通过计算结果判断。
【解析】
已知二次函数为$y=\dfrac{1}{2}x^2+4x+3$，其中$a=\dfrac{1}{2}$，$b=4$，$c=3$。
选项A：因为$a=\dfrac{1}{2}＞0$，函数图象开口向上，故A错误；
选项B：对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2×\dfrac{1}{2}}=-4$，开口向上，因此当$x＜-4$时，$y$随$x$增大而减小；当$x＞-4$时，$y$随$x$增大而增大。当$x＜0$时，包含$x＜-4$和$-4＜x＜0$两个区间，$y$并非随$x$增大而减小，故B错误；
选项C：当$x=0$时，$y=c=3$，即与$y$轴交点为$(0,3)$，位于$y$轴正半轴，故C错误；
选项D：对称轴为$x=-4$，$-4＜0$，即对称轴在$y$轴左侧，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、二次函数的图象特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，需熟练掌握一般式中a、b、c对应的图象特征，逐一分析选项即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
要将二次函数的一般式转化为顶点式，需使用配方法：先提取二次项系数，再对括号内的二次项和一次项进行配方（加上并减去一次项系数一半的平方），最后整理化简即可得到顶点式。
【解析】
对二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+6x-16$ 进行配方：
1. 提取二次项系数：$y=-\dfrac{1}{2}(x^2 - 12x) -16$；
2. 配方：括号内加上并减去一次项系数一半的平方（一次项系数为$-12$，一半为$-6$，平方为$36$），得：
$y=-\dfrac{1}{2}[(x^2 -12x +36) -36] -16$；
3. 整理化简：
$y=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2 + (-\dfrac{1}{2})×(-36) -16$
$=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2 +18 -16$
$=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2 +2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2+2$
【知识点】
二次函数顶点式、配方法
【点评】
本题考查二次函数一般式转顶点式的配方法，属于基础题型，只需掌握配方法的基本步骤即可正确解答，是二次函数的基础考点。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，需结合二次函数的两个关键性质：一是函数图象过某点时，该点坐标满足函数解析式；二是二次函数开口向上时，二次项系数大于0。解题思路分三步：第一步，将已知点(0,8)代入二次函数解析式，得到关于a的方程；第二步，解这个方程求出a的可能值；第三步，根据开口向上的条件筛选出符合要求的a值。
【解析】
1. 代入点坐标建立方程：因为二次函数$y=ax^2 -x+a^2 -1$的图象过点$(0,8)$，将$x=0$、$y=8$代入解析式得：$8 = a·0^2 - 0 + a^2 -1$，化简得$a^2 -1=8$；
2. 解方程求a的可能值：移项得$a^2=9$，解得$a=3$或$a=-3$；
3. 根据开口方向筛选：二次函数开口向上，说明二次项系数$a＞0$，因此排除$a=-3$，最终得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的点与解析式的关系；二次函数的开口方向
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，属于常规基础题，需掌握“函数图象过点则坐标满足解析式”和“开口向上则二次项系数为正”两个核心知识点，解题时要结合两个条件筛选参数，避免错解。
【难度系数】
0.7

【分析】
要确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，需将抛物线的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$：其中$a$的正负决定开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。解题时先对每个解析式配方得到顶点式，再根据顶点式的性质得出结果。
【解析】
(1) 对$y = -\dfrac{1}{2}x^{2} + 3x - 2$配方：
提取二次项系数$-\dfrac{1}{2}$，得：
$y = -\dfrac{1}{2}(x^2 - 6x) - 2$
对括号内配方：$x^2 -6x=(x-3)^2 -9$，代入得：
$y = -\dfrac{1}{2}[(x-3)^2 -9] -2 = -\dfrac{1}{2}(x-3)^2 + \dfrac{9}{2} -2 = -\dfrac{1}{2}(x-3)^2 + \dfrac{5}{2}$
因$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，故抛物线开口向下，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标是$(3,\dfrac{5}{2})$。
(2) 先展开$y=(x-2)(2x-1)$得一般式：
$y=2x^2 -x -4x +2 =2x^2 -5x +2$
对其配方，提取二次项系数2：
$y=2(x^2 - \dfrac{5}{2}x) +2$
括号内配方：$x^2 - \dfrac{5}{2}x = (x - \dfrac{5}{4})^2 - \dfrac{25}{16}$，代入得：
$y=2[(x - \dfrac{5}{4})^2 - \dfrac{25}{16}] +2 =2(x - \dfrac{5}{4})^2 - \dfrac{25}{8} + \dfrac{16}{8} =2(x - \dfrac{5}{4})^2 - \dfrac{9}{8}$
因$a=2＞0$，故抛物线开口向上，对称轴是直线$x=\dfrac{5}{4}$，顶点坐标是$(\dfrac{5}{4},-\dfrac{9}{8})$。
【答案】
(1) 开口向下，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标是$(3,\dfrac{5}{2})$；(2) 开口向上，对称轴是直线$x=\dfrac{5}{4}$，顶点坐标是$(\dfrac{5}{4},-\dfrac{9}{8})$
【知识点】
二次函数的顶点式、二次函数的图象性质
【点评】
本题考查二次函数的配方法及顶点式的性质，是二次函数的基础题型，需熟练掌握配方步骤和顶点式对应的抛物线特征。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，首先需将二次函数的一般式转化为顶点式，从而直接得到顶点坐标；再根据二次函数的开口方向和对称轴，判断函数值随自变量的变化情况。具体思路：1. 用配方法对原式变形，将一般式$y=ax²+bx+c$转化为$y=a(x-h)²+k$的顶点式，顶点坐标为$(h,k)$；2. 由二次项系数$a$的符号确定开口方向，结合对称轴$x=h$，分析对称轴两侧的函数增减性。
【解析】
对二次函数$y=x²-4x+3$进行配方：
$y=x²-4x+3 = (x²-4x+4) - 4 + 3 = (x-2)² - 1$
根据顶点式$y=a(x-h)²+k$的性质，顶点坐标为$(h,k)$，因此该函数图象的顶点坐标是$(2,-1)$。
由于二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$：
当$x＜2$时，在对称轴左侧，函数值$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞2$时，在对称轴右侧，函数值$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
顶点坐标是$(2,-1)$；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数增减性、配方法
【点评】
本题考查二次函数的基础知识点，核心是配方法转化一般式为顶点式，以及利用二次函数性质判断增减性，是二次函数学习的必备基础内容，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7