解：
(1) 令$y=x^2-1=0，$则$x_1=1，$$x_2=-1，$
∴$A(-1,0)，$$B(1,0)。$
令$x=0，$则$y=0-1=-1，$
∴$C(0,-1)。$
(2) 由
(1)得$OA=OB=OC=1，$$AB=2。$
∵$∠ AOC=∠ BOC=90°，$
∴$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{2}，$$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2}。$
∴$AC^2+BC^2=AB^2=4，$且$AC=BC。$
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
解：
(1) 把$A(1,b)$代入$y=2x，$得$b=2。$
∴$A(1,2)。$
把$A(1,2)$代入$y=ax^2+3，$得$a=-1。$
(2) 把$B(m,4)$代入$y=2x，$得$m=2。$
∴$B(2,4)。$
易得抛物线$y=ax^2+3$的顶点$C$的坐标是$(0,3)，$
∴$OC=3。$
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}-S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}。$
(3) 设点$C$关于$x$轴的对称点为$C'，$则点$C'$的坐标为$(0,-3)，$连接$AC'$交$x$轴于点$P，$此时$PA+PC$的值最小。
设直线$AC'$对应的函数解析式为$y=kx+n。$
把$C'(0,-3)，$$A(1,2)$代入，得
$\begin{cases} n=-3 \\ k+n=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=5 \\ n=-3 \end{cases}$
∴$y=5x-3。$
当$y=0$时，$5x-3=0，$
∴$x=\frac{3}{5}。$
∴点$P$的坐标是$(\frac{3}{5},0)。$
【分析】要判断一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=ax^2+c$的图象，需抓住两个关键：①两个函数中$a$的符号必须一致（一次函数的斜率为$a$，二次函数的开口方向由$a$决定）；②两个函数与$y$轴的交点相同（$x=0$时，两个函数的$y$值均为$c$）。据此逐一分析选项即可。
【解析】
1. 分析选项A：二次函数开口向下，得$a＜0$；但一次函数斜率为正，得$a＞0$，两者$a$的符号矛盾，排除A。
2. 分析选项B：二次函数开口向上，得$a＞0$；但一次函数斜率为负，得$a＜0$，两者$a$的符号矛盾，排除B。
3. 分析选项C：二次函数开口向上，得$a＞0$；但一次函数斜率为负，得$a＜0$，两者$a$的符号矛盾，排除C。
4. 分析选项D：二次函数开口向下，得$a＜0$；一次函数斜率为负，得$a＜0$，两者$a$的符号一致；且两个函数与$y$轴交于同一点，符合条件，故D正确。
【答案】D
【知识点】一次函数图象、二次函数图象
【点评】本题考查一次函数与二次函数的图象性质，核心是利用函数中系数$a$的符号一致性和$y$轴交点的同一性判断，属于基础题型，需熟练掌握函数图象与系数的关系。
【难度系数】0.6
【分析】
要比较三个函数值的大小，需先明确二次函数$y=x^2+1$的核心性质：该函数开口向上，对称轴为$x=0$，在对称轴左侧（$x＜0$），函数值随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$），函数值随$x$的增大而增大。已知$a＜-1$，可先判断三个点横坐标的范围，再结合函数单调性比较函数值大小。
【解析】
解：函数$y=x^2+1$是开口向上的二次函数，对称轴为$x=0$，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
因为$a＜-1$，所以$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ -1 ＜ 0$，即三个点的横坐标均在对称轴左侧，且横坐标依次增大。
根据函数在$x＜0$时的单调性，横坐标越大，对应的函数值越小，因此$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$，即$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
故答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、函数的单调性
【点评】
本题考查二次函数的图像与性质，核心是利用对称轴判断区间内的单调性，进而比较函数值大小，需注意对称轴两侧的单调性差异，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决该问题，需先利用直线上点的坐标特征确定点A的纵坐标，再根据抛物线的对称性求出点B的坐标。具体思路：1. 直线y=5上所有点的纵坐标均为5，据此求出点A的纵坐标；2. 形如y=ax²+b的抛物线对称轴为y轴，图像关于y轴对称，直线与抛物线的交点也关于y轴对称，进而得到点B的坐标。
【解析】
1. 求点A的纵坐标：因为点A(-2,c)在直线y=5上，将x=-2代入直线方程得c=5，即A点坐标为(-2,5)。
2. 利用抛物线对称性：抛物线y=ax²+b的对称轴为y轴，图像关于y轴对称，直线y=5与抛物线的交点A、B关于y轴对称，因此点B的横坐标为点A横坐标的相反数，纵坐标与A相同，即B点坐标为(2,5)。
【答案】
(2,5)
【知识点】
二次函数的对称性、一次函数与二次函数的交点
【点评】
本题考查二次函数的对称性，属于基础题型，核心是掌握形如y=ax²+b的抛物线关于y轴对称的性质，结合直线上点的坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这道题，需掌握抛物线$y=ax^2+k$的顶点特征及图像翻折规律：该抛物线顶点在y轴上，坐标为$(0,k)$；沿x轴翻折时，图像上点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数。第(1)问利用顶点位置求$k$，再代入已知点求$a$；第(2)问根据翻折的坐标变换推导解析式。
【解析】
(1) 抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，因顶点在直线$y=-2$上，故$k=-2$。
将$x=1$、$y=-3$、$k=-2$代入解析式：
$-3 = a×1^2 + (-2)$，解得$a=-1$。
(2) 抛物线沿x轴翻折时，原抛物线上点$(x,y)$翻折后为$(x,-y)$，因此翻折后的解析式满足：
$-y = ax^2 + k$，即$y=-ax^2 -k$。
代入$a=-1$、$k=-2$，得：
$y=-(-1)x^2 - (-2)=x^2+2$。
【答案】
(1) $-1$；$-2$ (2) $y=x^2+2$
【知识点】
二次函数的顶点式、抛物线的翻折变换
【点评】
本题考查二次函数的基础性质及图像变换，属于常规基础题，只要掌握顶点式特点和翻折规律即可解答。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决本题，分两步进行：第一步求A、B、C三点坐标，需利用抛物线与坐标轴交点的特性：与x轴交点纵坐标为0，与y轴交点横坐标为0，分别代入抛物线解析式求解；第二步判断△ABC的形状，需先根据三点坐标计算三边长度，再结合等腰三角形和直角三角形的判定方法（边相等、勾股定理逆定理）确定。
【解析】
(1) 求三点坐标：
对于抛物线$ y = x^2 - 1 $，
与x轴交点：令$ y = 0 $，则$ x^2 - 1 = 0 $，解得$ x_1 = -1 $，$ x_2 = 1 $，因此A点坐标为$ (-1, 0) $，B点坐标为$ (1, 0) $；
与y轴交点：令$ x = 0 $，则$ y = 0^2 - 1 = -1 $，因此C点坐标为$ (0, -1) $。
(2) 判断△ABC的形状：
由(1)得：$ OA = 1 $，$ OB = 1 $，$ OC = 1 $，$ AB = 2 $。
根据两点间距离公式：
$ AC = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{2} $，
$ BC = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{2} $。
因此$ AC = BC $，说明△ABC是等腰三角形；
又$ AC^2 + BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 $，$ AB^2 = 2^2 = 4 $，故$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，根据勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形。
综上，△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $ A(-1,0) $，$ B(1,0) $，$ C(0,-1) $；
(2) △ABC是等腰直角三角形。
【知识点】
抛物线与坐标轴交点、两点间距离公式、等腰直角三角形判定
【点评】
本题是抛物线与三角形结合的基础题，考查抛物线与坐标轴交点的求法，以及利用坐标计算边长、结合勾股定理逆定理判定三角形形状，思路清晰，计算简单，属于常规题型。
【难度系数】
0.7
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
(1) 求a与b的值：已知点A在正比例函数y=2x上，将A点坐标代入正比例函数可直接求出b，再将A点坐标代入抛物线解析式，即可求出a；
(2) 求△ABC的面积：先根据点B在正比例函数上，求出B点坐标，再确定抛物线顶点C的坐标，利用割补法（△OBC面积减去△OAC面积）计算三角形面积；
(3) 求PA+PC最小时P的坐标：利用“最短路径问题”的对称法，作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，AC'与x轴的交点即为使PA+PC最小的点P，通过求直线AC'的解析式，进而求出P点坐标。
【解析】
(1) 把A(1,b)代入y=2x，得b=2×1=2，故A(1,2)；
将A(1,2)代入抛物线y=ax²+3，得2=a×1²+3，解得a=-1；
(2) 把B(m,4)代入y=2x，得4=2m，解得m=2，故B(2,4)；
抛物线y=-x²+3的顶点C的坐标为(0,3)；
△ABC的面积计算：S△ABC=S△OBC - S△OAC，
其中S△OBC=1/2×OC×|x_B|=1/2×3×2=3，S△OAC=1/2×OC×|x_A|=1/2×3×1=3/2，
故S△ABC=3 - 3/2=3/2；
(3) 作点C关于x轴的对称点C'，则C'(0,-3)，连接AC'，交x轴于点P，此时PA+PC=PA+PC'=AC'，值最小；
设直线AC'的解析式为y=kx+n，将A(1,2)、C'(0,-3)代入得：
$\begin{cases}n=-3\\k+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=5\\n=-3\end{cases}$，故直线AC'的解析式为y=5x-3；
令y=0，得5x-3=0，解得x=3/5，故P点坐标为(3/5,0)。
【答案】
(1) a=-1，b=2；
(2) △ABC的面积为$\frac{3}{2}$；
(3) 点P的坐标为$(\frac{3}{5},0)$。
【知识点】
正比例函数、二次函数、最短路径问题
【点评】
本题是函数与几何结合的常规题型，考察了函数交点、顶点坐标、三角形面积计算及最短路径的对称法，解题思路清晰，需掌握基本函数性质和几何最值的处理方法。
【难度系数】
0.6
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