解：
(1) 当$x=-1$时，$y=x^2=1；$当$x=3$时，$y=x^2=9，$
$\therefore A(-1,1)，$$B(3,9)。$
将$(-1,1)，$$(3,9)$代入$y=kx+b，$得
$\begin{cases} -k+b=1 \\ 3k+b=9 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=2 \\ b=3 \end{cases}$
$\therefore$ 直线对应的函数解析式为$y=2x+3。$
(2) 设直线$AB$与$y$轴交于点$C，$则易得$C(0,3)。$
$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×3=6。$
解：
(1) 将$(1,b)$代入$y=2x-3，$得$b=-1。$
将$(1,-1)$代入$y=ax^2，$得$-1=a·1^2，$解得$a=-1。$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2，$顶点坐标为$(0,0)，$对称轴为$y$轴。
(2) 令$-x^2=2x-3，$解得$x_1=-3，$$x_2=1。$
当$x=-3$时，$y=-9；$当$x=1$时，$y=-1。$
$\therefore A(1,-1)，$$B(-3,-9)。$
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×(1+9)×[1-(-3)]-\frac{1}{2}×3×9-\frac{1}{2}×1×1=6。$
(3) 过点$O$作$OP// AB，$交抛物线于点$P，$连接$AP,BP。$此时$S_{△ AOB}=S_{△ ABP}，$
易知直线$OP$对应的函数解析式为$y=2x。$
联立$\begin{cases} y=2x \\ y=-x^2 \end{cases}，$即$2x=-x^2，$解得$x_1=0，$$x_2=-2。$
当$x=0$时，$y=0；$当$x=-2$时，$y=-4。$
$\because$ 点$O$的坐标为$(0,0)，$$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-2,-4)。$
【分析】首先回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下；$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越小，开口越宽，$|a|$越大，开口越窄。观察图像，三条抛物线均向下开口，故$a,b,c$均为负数；再根据开口宽度判断$|a|$、$|b|$、$|c|$的大小，最后利用负数的大小比较规则（绝对值越小的负数越大），即可得出$a,b,c$的关系。
【解析】1. 开口方向：图像中三条抛物线都向下开口，说明$a＜0$，$b＜0$，$c＜0$；
2. 开口宽窄：从图中可知，$y=ax^2$开口最宽，$y=bx^2$开口次之，$y=cx^2$开口最窄，因此$|a| ＜ |b| ＜ |c|$；
3. 负数比较：对于负数，绝对值越小，数值越大。结合$|a| ＜ |b| ＜ |c|$，可得$a ＞ b ＞ c$。
【答案】A
【知识点】二次函数图像性质
【点评】本题考查二次函数$y=ax^2$的图像性质，核心是理解$a$的符号与开口方向、$|a|$与开口宽窄的关系，属于易错题，需注意负数的大小比较规则。
【难度系数】0.5
【分析】要确定m的值，需结合二次函数的定义和图象性质分析：首先，二次函数中自变量x的最高次数为2，因此指数$m^2+1=2$；其次，二次项系数不能为0，即$m-1≠0$；最后，图象开口向下说明二次项系数小于0，即$m-1＜0$。依次求解这些条件，即可得到m的值。
【解析】
1. 因为函数$y=(m-1)x^{m^2+1}$是二次函数，所以自变量x的次数为2，可得：
$m^2 + 1 = 2$，解得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$。
2. 二次项系数不能为0，因此$m - 1 ≠ 0$，即$m≠1$，此时剩余$m=-1$。
3. 又因为图象开口向下，所以二次项系数小于0，即$m - 1 ＜ 0$，将$m=-1$代入得$-1 -1=-2＜0$，满足条件。
综上，$m=-1$。
【答案】-1
【知识点】二次函数的定义、二次函数的图象性质
【点评】本题考查二次函数的基础概念，需同时满足二次函数的定义（次数为2、系数不为0）和开口方向要求，是二次函数的典型基础题，需注意避免遗漏二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】0.6
【分析】要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时$a$的取值范围，需找到抛物线经过正方形边界的两个极端点：当抛物线在正方形最右侧（$x=3$）处刚好接触正方形下边界（$y=1$）时，对应$a$的最小值；当抛物线在正方形最左侧（$x=1$）处刚好接触正方形上边界（$y=3$）时，对应$a$的最大值，由此可确定$a$的范围。
【解析】已知正方形四个顶点为$(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)$，则正方形的$x$范围是$1≤x≤3$，$y$范围是$1≤y≤3$。
1. 求$a$的最小值：当抛物线$y=ax^2$经过点$(3,1)$时，代入得$1=a×3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$，此时抛物线刚好与正方形的右下角附近边界接触，若$a＜\frac{1}{9}$，抛物线在正方形下方，无公共点；
2. 求$a$的最大值：当抛物线$y=ax^2$经过点$(1,3)$时，代入得$3=a×1^2$，解得$a=3$，此时抛物线刚好与正方形的左上角附近边界接触，若$a＞3$，抛物线在正方形上方，无公共点；
因此，抛物线与正方形有公共点时，$a$的取值范围是$\frac{1}{9}≤a≤3$。
【答案】$\dfrac{1}{9}≤ a≤3$
【知识点】二次函数图像、参数取值范围
【点评】本题结合正方形的坐标特征，利用二次函数的图像性质确定参数范围，核心是找到抛物线与正方形边界的交点，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质和抛物线的对称性分析：菱形的对角线互相垂直且平分，已知对角线OB在y轴上且长度为2，因此另一条对角线AC与OB垂直，AC的中点为OB的中点，即(0,1)，由此确定A、C两点的纵坐标均为1；再将纵坐标代入抛物线解析式求出A、C的横坐标，得到AC的长度；最后根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积。
【解析】
连接AC，
∵四边形OABC是菱形，
∴对角线OB与AC互相垂直平分。
∵OB在y轴上，OB=2，
∴OB的中点坐标为(0,1)，且AC⊥y轴，因此A、C两点的纵坐标均为1。
将y=1代入抛物线解析式$y=\dfrac{1}{3}x^2$，得$\dfrac{1}{3}x^2=1$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，
∴A点坐标为$(\sqrt{3},1)$，C点坐标为$(-\sqrt{3},1)$，则$AC=\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$。
根据菱形面积公式：面积=$\dfrac{1}{2}×$对角线长度乘积，
∴菱形OABC的面积为$\dfrac{1}{2}×OB×AC=\dfrac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
菱形性质、二次函数图像、坐标与图形
【点评】
本题结合菱形性质与二次函数图像特征，考查坐标求解和菱形面积计算，关键是利用菱形对角线平分的性质确定A、C的纵坐标，属于几何与函数结合的中等题。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这道题，首先利用抛物线的解析式求出点A、B的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式；求△OAB的面积时，通过分割法将其转化为两个以y轴上公共点为顶点的小三角形面积之和，简化计算。
【解析】
(1) 求点A、B的坐标：
因为点A、B在抛物线$ y=x^2 $上，且横坐标分别为-1和3，
当$ x=-1 $时，$ y=(-1)^2=1 $，故$ A(-1,1) $；
当$ x=3 $时，$ y=3^2=9 $，故$ B(3,9) $。
将$ A(-1,1) $、$ B(3,9) $代入直线$ y=kx+b $，得方程组：
$\begin{cases} -k + b = 1 \\ 3k + b = 9\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$ 4k=8 $，解得$ k=2 $；
将$ k=2 $代入$ -k + b=1 $，得$ b=3 $。
因此，直线对应的函数解析式为$ y=2x+3 $。
(2) 求$ △ OAB $的面积：
设直线$ AB $与$ y $轴交于点$ C $，令$ x=0 $，代入$ y=2x+3 $得$ y=3 $，故$ C(0,3) $。
$ △ OAB $的面积可分割为$ △ AOC $与$ △ BOC $的面积之和：
$ S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × OC × |x_A| = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2} $，
$ S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × OC × |x_B| = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2} $，
所以$ S_{△ OAB} = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 6 $。
【答案】
(1) $ y=2x+3 $；(2) $ 6 $
【知识点】
一次函数解析式、二次函数图像、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式和三角形面积计算，思路清晰，步骤常规，适合巩固函数基础知识点。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题分三小问逐步求解：
(1) 先利用直线上的点求出b的值，再代入抛物线解析式求出a，进而得到抛物线的解析式，确定其顶点坐标与对称轴；
(2) 联立抛物线与直线的方程，解方程组得到A、B两点坐标，用割补法计算△AOB的面积；
(3) 由同底等高的三角形面积相等，过O作AB的平行线，联立平行线与抛物线方程，求解得到P点坐标，验证P在直线AB上方即可。
【解析】
(1) 将点$(1,b)$代入直线$y=2x-3$，得$b=2×1-3=-1$，即交点为$(1,-1)$。将$(1,-1)$代入抛物线$y=ax^2$，得$-1=a×1^2$，解得$a=-1$。因此抛物线解析式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）。
(2) 联立抛物线与直线方程：$\begin{cases}y=-x^2 \\ y=2x-3\end{cases}$，消去$y$得$-x^2=2x-3$，整理为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。当$x=-3$时，$y=2×(-3)-3=-9$，故$B(-3,-9)$；当$x=1$时，$y=-1$，故$A(1,-1)$。用割补法计算$△ AOB$的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×(1+9)×[1-(-3)]-\frac{1}{2}×3×9-\frac{1}{2}×1×1=6$。
(3) 因为$S_{△ ABP}=S_{△ AOB}$，且$△ ABP$与$△ AOB$同底$AB$，所以它们的高相等，即点$P$到直线$AB$的距离等于点$O$到直线$AB$的距离，故过$O$作$AB$的平行线，其斜率与$AB$相同为$2$，解析式为$y=2x$。联立$\begin{cases}y=2x \\ y=-x^2\end{cases}$，得$2x=-x^2$，即$x^2+2x=0$，解得$x=0$或$x=-2$。$x=0$对应点$O$，舍去；当$x=-2$时，$y=2×(-2)=-4$，验证：直线$AB$在$x=-2$时的$y$值为$2×(-2)-3=-7$，$-4 ＞ -7$，符合$P$在直线$AB$上方，故$P(-2,-4)$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
(2) $S_{△ AOB}=6$；
(3) 点$P$的坐标为$(-2,-4)$。
【知识点】
二次函数解析式，三角形面积，一次函数与二次函数交点
【点评】
本题综合考查二次函数与一次函数的交点问题、三角形面积计算，利用同底等高的三角形面积相等是解决第三问的关键，需掌握联立方程求交点、割补法求面积的方法，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
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