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第24页

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解：$(1) $设$OC=m$，则$OA=m+2$，

$ $因为矩形$OABC$的面积为$15$，

所以$m(m+2)=15$，

$ $整理得$\mathrm {m^2}+2m-15=0$，

$ $解得$m_1=3$，$m_2=-5($不合题意，舍去），

$ $所以$OA=5$，$OC=3$。

$ (2) $证明：连接$O'D$，

$ $因为四边形$OABC$是矩形，

所以$OC=AB$，$∠ OCE=∠ ABE=90°$。

$ $因为$E$为$BC$的中点，所以$CE=BE$。

$ $在$△ OCE$和$△ ABE$中，

$ \begin {cases}\ \mathrm {OC}=AB \\∠ OCE=∠ ABE \\CE=BE \end {cases}$

$ $所以$△ OCE≌△ ABE(\mathrm {SAS})$，

$ $所以$OE=AE$，即$∠ AOE=∠ OAE$。

$ $因为$O'O=O'D$，

所以$∠ AOE=∠ O'DO$，

$ $所以$∠ OAE=∠ O'DO$，即$O'D// AE$。

$ $又因为$DF⊥ AE$，

所以$DF⊥ O'D$。

$ $因为$O'D$是$\odot O'$的半径，

所以$DF $为$\odot O'$的切线。

$ (3) $存在，点$P $的坐标为$(1，3)$、$(9，3)$、$(-4，3)$、$(4，3)$。

解：$(1) $连接$OD$，

$ $因为直线$CD$与$\odot O$相切，

所以$OD⊥ CD$，即$∠ ODC=90°$。

$ $因为四边形$ABCD$是平行四边形，

所以$AB// CD$，

$ $所以$∠ AOD=∠ ODC=90°$。

$ $又因为$OA=OD$，

所以$∠ A=∠ ODA=\frac {1}{2}(180°-∠ AOD)=45°$。

$ (2) $连接$OD$，过点$D$作$DM⊥ OA$于点$M$，过点$O$作$ON⊥ CD$于点$N$，

$ $则$∠ OMD=∠ AMD=∠ OND=90°$，$DN=\frac {1}{2}DH$。

$ $设$OM=x$，

因为$\odot O$半径为$5$，

所以$OA=OD=5$，则$AM=5-x$。

$ $由$AD^2-AM^2=OD^2-OM^2$，$AD=6$，

$ $得$6^2-(5-x)^2=5^2-x^2$，解得$x=1.4$，即$OM=1.4$。

$ $因为四边形$ABCD$是平行四边形，

所以$CD=AB=10$，$AB// CD$，

$ $所以$∠ CDM=∠ AMD=90°$，

即四边形$OMDN$是矩形，

$ $所以$DN=OM=1.4$，则$DH=2DN=2.8$，

$ $所以$CH=CD-DH=10-2.8=7.2$。

$ (3) $分两种情况讨论：

$ ① $当点$D$在点$E$左侧时，连接$OD$，过点$O$作$OF⊥ CD$于点$F$，过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$，

$ $则$DF=\frac {1}{2}DE=3$，四边形$OFDG $是矩形，

所以$OG=DF=3$。

$ $因为$OA=OD=5$，

所以$AG=OA-OG=5-3=2$，

$ DG=\sqrt {OD^2-OG^2}=\sqrt {25-9}=4$，

$ $所以$AD=\sqrt {AG^2+DG^2}=\sqrt {2^2+4^2}=2\sqrt {5}$。

$ ② $当点$D$在点$E$右侧时，连接$OD$，过点$O$作$OQ⊥ CE$于点$Q$，过点$D$作$DP⊥ AB$于点$P$，

$ $则$DQ=\frac {1}{2}DE=3$，四边形$DPOQ $是矩形，

所以$OP=DQ=3$。

$ $所以$AP=OA+OP=5+3=8$，$PD=\sqrt {OD^2-OP^2}=\sqrt {25-9}=4$，

$ $所以$AD=\sqrt {AP^2+PD^2}=\sqrt {8^2+4^2}=4\sqrt {5}$。

综上，$AD$的长为$2\sqrt {5}$或$4\sqrt {5}$。