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第22页

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解：$ (1) $把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=\mathrm {m^2}$，

$ $得$(-1-1)×(-1-2)=\mathrm {m^2}$，即$\mathrm {m^2}=6$，

$ $解得$m=\pm \sqrt {6}$。

$ $原方程整理为$x^2-3x+2-\mathrm {m^2}=0$，

$ $由根与系数的关系得$x_1+x_2=3$，

$ $因为$x_1=-1$，所以$x_2=3-(-1)=4$。

$ (2) $证明：将方程$(x-1)(x-2)=\mathrm {m^2}$整理为$x^2-3x+2-\mathrm {m^2}=0$，

$ $由根与系数的关系得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-\mathrm {m^2}$，

$ $所以$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-\mathrm {m^2}-3+1=-\mathrm {m^2}$，

$ $因为$\mathrm {m^2}≥0$，所以$-\mathrm {m^2}≤0$，

$ $即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。

解：$ (1) $把点$B(8，0)$代入$y=-\frac {1}{2}x+b$，

$ $得$-\frac {1}{2}×8 + b=0$，解得$b=4$，

$ $所以一次函数的表达式为$y=-\frac {1}{2}x+4$。

$ $把$A(m，3)$代入$y=-\frac {1}{2}x+4$，

$ $得$-\frac {1}{2}m +4=3$，解得$m=2$，

$ $所以$A(2，3)$。

$ $把$A(2，3)$代入$y=\frac {k}{x}$，得$3=\frac {k}{2}$，

解得$k=6$，

$ $所以反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}(x＞0)$。

$ (2) $过点$A$作$AM⊥ y$轴于点$M$，

$ $因为$A(2，3)$，所以$AM=2$。

$ $在$y=-\frac {1}{2}x+4$中，令$x=0$，得$y=4$，

所以$C(0，4)$，即$OC=4$。

$ $设$OP=n$，

因为$P $在$y$轴负半轴，

所以$PC=OC+OP=4+n$。

$ $由$S_{△ ACP}=\frac {1}{2}· PC· AM=6$，

$ $得$\frac {1}{2}×(4+n)×2=6$，即$4+n=6$，解得$n=2$，

$ $所以点$P $的坐标为$(0，-2)$。

解：$(1) $设增加的长度为$x\ \mathrm {m}$，

$ $由题意得$(35+x)(15+x)=800$，

$ $整理得$x^2+50x-275=0$，

$ $解得$x_1=5$，$x_2=-55($不合题意，舍去），

$ $所以新矩形的长为$35+5=40\ \mathrm {m}$，宽为$15+5=20\ \mathrm {m}$。

答：新的矩形绿地的长为$40\ \mathrm {m}$，宽为$20\ \mathrm {m}$。

$ (2) $设增加的长度为$y\ \mathrm {m}$，

$ $由题意得$(35+y)：(15+y)=5：3$，

$ $解得$y=15$，符合题意，

$ $所以新矩形的长为$35+15=50\ \mathrm {m}$，宽为$15+15=30\ \mathrm {m}$，

$ $新矩形的面积为$50×30=1500\ \mathrm {m^2}$。

答：新的矩形绿地的面积为$1500\ \mathrm {m^2}$。